Calcule a integral.
\int \frac{a x}{x^{2}-b x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{a x}{x^{2}-b x}\,dx.
Informações dadas (assumidas): a e b são constantes (não dependem de x). A expressão do integrando tem pontos onde o denominador zera: x=0 e x=b. A resposta deve ser uma primitiva válida em intervalos onde a função é contínua (ou seja, em intervalos que não contenham 0 ou b).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica antes de integrar. Fatore o denominador:
x^{2}-b x = x(x-b).
Assim o integrando fica
\frac{a x}{x^{2}-b x}=\frac{a x}{x(x-b)}.
Desde que x\neq0 (porque dividimos por x), podemos cancelar o fator x em numerador e denominador:
\frac{a x}{x(x-b)}=\frac{a}{x-b}\qquad (x\neq0).
Observação didática: cancelar fatores comuns é uma operação algébrica válida somente quando se garante que o ponto onde cancelamos não é usado diretamente; aqui o integrando original não está definido em x=0 nem em x=b. Para encontrar primitiva usamos a forma simplificada em intervalos que não contenham essas singularidades.

Passo 3

Agora temos que calcular
\int \frac{a}{x-b}\,dx.
Isso é uma integral padrão. Uma maneira clara é fazer a substituição linear
u = x-b \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Substituindo, a integral fica
\int \frac{a}{u}\,du = a\int \frac{1}{u}\,du.
Lembrete teórico rápido e essencial: a primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|, porque \dfrac{d}{du}\ln|u|=\dfrac{1}{u}. É importante usar o valor absoluto para cobrir u<0 também.

Passo 4

Integrando obtemos
a\int \frac{1}{u}\,du = a\ln|u| + C,
onde C é a constante de integração. Voltando à variável original x (lembre que u=x-b),
a\ln|u| + C = a\ln|x-b| + C.

Passo 5

Comentário final e dicas para prova: a simplificação por cancelamento foi o passo chave aqui. Outra rota seria decompor em frações parciais:
\frac{a x}{x(x-b)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-b},
resolver para A,B e notar que isso leva a A=0, B=a, resultando na mesma integral \int a/(x-b)\,dx. Sempre verifique as singularidades ( x=0, x=b) ao aplicar o resultado: a primitiva a\ln|x-b|+C é válida em qualquer intervalo que não contenha x=b (e, devido ao cancelamento, deve-se ter cuidado caso o intervalo contenha x=0).

Resposta

a\ln|x-b|+C

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