Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas (assumidas):
e
são constantes (não dependem de
). A expressão do integrando tem pontos onde o denominador zera:
e
. A resposta deve ser uma primitiva válida em intervalos onde a função é contínua (ou seja, em intervalos que não contenham
ou
).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica antes de integrar. Fatore o denominador:
Assim o integrando fica
Desde que
(porque dividimos por
), podemos cancelar o fator
em numerador e denominador:
Observação didática: cancelar fatores comuns é uma operação algébrica válida somente quando se garante que o ponto onde cancelamos não é usado diretamente; aqui o integrando original não está definido em
nem em
. Para encontrar primitiva usamos a forma simplificada em intervalos que não contenham essas singularidades.
Passo 3
Agora temos que calcular
Isso é uma integral padrão. Uma maneira clara é fazer a substituição linear
Substituindo, a integral fica
Lembrete teórico rápido e essencial: a primitiva de
é
, porque
. É importante usar o valor absoluto para cobrir
também.
Passo 4
Integrando obtemos
onde
é a constante de integração. Voltando à variável original
(lembre que
),
Passo 5
Comentário final e dicas para prova: a simplificação por cancelamento foi o passo chave aqui. Outra rota seria decompor em frações parciais:
resolver para
e notar que isso leva a
,
, resultando na mesma integral
. Sempre verifique as singularidades (
,
) ao aplicar o resultado: a primitiva
é válida em qualquer intervalo que não contenha
(e, devido ao cancelamento, deve-se ter cuidado caso o intervalo contenha
).