Calcule a integral tripla
\iint_{B} \int z \operatorname{sen}(x) \cos (y) d V
onde B=\left\{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq \pi, \frac{3 \pi}{2} \leq y \leq 2 \pi, 1 \leq z \leq 3\right\}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • É pedido calcular a integral tripla
\iiint_{B} z\,\operatorname{sen}(x)\cos(y)\,dV.
  • A região B é a caixa retangular com limites:
    • 0 \le x \le \pi,
    • \dfrac{3\pi}{2} \le y \le 2\pi,
    • 1 \le z \le 3.
  • Em palavras: integrar a função z\sin x\cos y sobre o paralelepípedo definido pelos intervalos acima.

Passo 2

Entendimento do método: por que podemos separar a integral em integrais simples?
  • A função integranda é o produto de funções que dependem cada uma de uma só variável:
z\sin x\cos y = \big(\sin x\big)\big(\cos y\big)\big(z\big).
  • A região B é um produto cartesiano de intervalos (uma caixa retangular). Nesses casos vale a fórmula de Fubini para integrais múltiplas (ou simplesmente a propriedade da separabilidade): a integral tripla sobre B pode ser escrita como produto das integrais unidimensionais quando a integranda se separa em produto de funções de variáveis diferentes.
  • Assim podemos escrever
\iiint_{B} z\sin x\cos y\,dV = \left(\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx\right) \left(\int_{3\pi/2}^{2\pi}\cos y\,dy\right) \left(\int_{1}^{3} z\,dz\right).

Passo 3

Explicando a propriedade usada (rápida aula):
  • Se uma função f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z) e a região é [a,b]\times[c,d]\times[e,f], então
\iiint f(x,y,z)\,dV = \left(\int_a^b g(x)\,dx\right)\left(\int_c^d h(y)\,dy\right)\left(\int_e^f k(z)\,dz\right).
  • Aqui g(x)=\sin x, h(y)=\cos y, k(z)=z, e os intervalos são os indicados no Passo 1. Portanto podemos calcular cada integral unidimensional separadamente e depois multiplicar os resultados.

Passo 4

Calcular a integral em x:
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx.
  • Antiderivada de \sin x é -\cos x. Logo
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\cos\pi\bigr) - \bigl(-\cos 0\bigr).
  • Sabendo \cos\pi=-1 e \cos 0=1, temos
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx = -(-1) - ( -1) = 1+1 = 2.

Passo 5

Calcular a integral em y:
\int_{3\pi/2}^{2\pi}\cos y\,dy.
  • Antiderivada de \cos y é \sin y. Então
\int_{3\pi/2}^{2\pi}\cos y\,dy = \bigl[\sin y\bigr]_{3\pi/2}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(3\pi/2).
  • Usando valores do círculo trigonométrico: \sin(2\pi)=0 e \sin(3\pi/2)=-1. Portanto
\int_{3\pi/2}^{2\pi}\cos y\,dy = 0 - (-1) = 1.

Passo 6

Calcular a integral em z:
\int_{1}^{3} z\,dz.
  • Antiderivada de z é z^{2}/2. Logo
\int_{1}^{3} z\,dz = \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{1}^{3} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4.

Passo 7

Multiplicar os resultados das três integrais:
\left(\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx\right) \left(\int_{3\pi/2}^{2\pi}\cos y\,dy\right) \left(\int_{1}^{3} z\,dz\right) = 2 \cdot 1 \cdot 4 = 8.
Comentário rápido e encorajador: deu um número inteiro bonito! Se fizer as integrais em qualquer outra ordem, o resultado será o mesmo — é a vantagem do caso separável sobre uma caixa.

Resposta

8

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