Calcule a integral tripla
onde
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- É pedido calcular a integral tripla
- A região
é a caixa retangular com limites: -
, -
, -
.
-
- Em palavras: integrar a função
sobre o paralelepípedo definido pelos intervalos acima.
Passo 2
Entendimento do método: por que podemos separar a integral em integrais simples?
- A função integranda é o produto de funções que dependem cada uma de uma só variável:
- A região
é um produto cartesiano de intervalos (uma caixa retangular). Nesses casos vale a fórmula de Fubini para integrais múltiplas (ou simplesmente a propriedade da separabilidade): a integral tripla sobre pode ser escrita como produto das integrais unidimensionais quando a integranda se separa em produto de funções de variáveis diferentes. - Assim podemos escrever
Passo 3
Explicando a propriedade usada (rápida aula):
- Se uma função
e a região é , então
- Aqui
, , , e os intervalos são os indicados no Passo 1. Portanto podemos calcular cada integral unidimensional separadamente e depois multiplicar os resultados.
Passo 4
Calcular a integral em
:
- Antiderivada de
é . Logo
- Sabendo
e , temos
Passo 5
Calcular a integral em
:
- Antiderivada de
é . Então
- Usando valores do círculo trigonométrico:
e . Portanto
Passo 6
Calcular a integral em
:
- Antiderivada de
é . Logo
Passo 7
Multiplicar os resultados das três integrais:
Comentário rápido e encorajador: deu um número inteiro bonito! Se fizer as integrais em qualquer outra ordem, o resultado será o mesmo — é a vantagem do caso separável sobre uma caixa.