Calcule
\int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} d z d y d x
Use coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}\,dz\,dy\,dx
Usamos as informações dadas nos limites:
  • x varia de -2 a 2.
  • Para cada x, y varia de 0 a \sqrt{4-x^{2}}.
  • Para cada (x,y), z varia de 0 a \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.
    A tarefa é avaliar esse integral usando coordenadas esféricas e apresentar o resultado final.

Passo 2

Interpretação geométrica da região de integração (pegando os limites do enunciado):
  • Da condição y\in\left[0,\sqrt{4-x^{2}}\right] obtemos x^{2}+y^{2}\le 4 e y\ge0.
  • Da condição z\in\left[0,\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\right] obtemos x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 e z\ge0.
    Portanto a região é o conjunto de pontos dentro da esfera de raio 2 (pois x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4), com as restrições y\ge0 e z\ge0. Isso corresponde a um quarto da esfera de raio 2: metade em y vezes metade em z, com x liberado no sinal.

Passo 3

Definição e fórmulas de coordenadas esféricas (aula rápida):
  • Em coordenadas esféricas usuais usamos três variáveis \rho,\varphi,\theta com x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.Aqui \rho\ge0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z positivo), e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x positivo).
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,que aparece porque a transformação de coordenadas tem jacobiano \rho^{2}\sin\varphi. (Intuição rápida: \rho^{2}\sin\varphi vem da área de um elemento de superfície esférica vezes o comprimento radial.)

Passo 4

Determinar os limites em esféricas a partir da descrição da região:
  • A condição x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 vira simplesmente 0\le\rho\le 2.
  • A condição z\ge0 implica \cos\varphi\ge0, logo 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.
  • A condição y\ge0 implica \sin\theta\ge0, logo \theta\in[0,\pi].
    Portanto os limites são
0\le\rho\le 2,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2},\qquad 0\le\theta\le\pi.

Passo 5

Converter o integrando para esféricas:
  • Observação: x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}. Então \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2}=(\rho^{2})^{3/2}=\rho^{3}.
  • Logo o integrando e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2}} vira e^{-\rho^{3}}.
  • Multiplicando pelo jacobiano, o integrando completo em esféricas é \rho^{2}\sin\varphi\,e^{-\rho^{3}}.
    Assim o integral passa a ser
\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2} \rho^{2} e^{-\rho^{3}} \sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 6

Separar integrais (as variáveis são separáveis aqui):
\int_{0}^{\pi}\!d\theta\;\int_{0}^{\pi/2}\!\sin\varphi\,d\varphi\;\int_{0}^{2}\!\rho^{2} e^{-\rho^{3}}\,d\rho.
Calcule as integrais angulares primeiro:
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi} d\theta = \pi.
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/2}=1.
    Portanto o fator angular total é \pi\cdot 1=\pi.

Passo 7

Calcular a integral radial
\int_{0}^{2} \rho^{2} e^{-\rho^{3}}\,d\rho.
Fazer a substituição u=\rho^{3}. Então du=3\rho^{2}d\rho, ou seja \rho^{2}d\rho=\dfrac{du}{3}.
Os limites: \rho=0\Rightarrow u=0, \rho=2\Rightarrow u=8.
Assim
\int_{0}^{2} \rho^{2} e^{-\rho^{3}}\,d\rho = \frac{1}{3}\int_{0}^{8} e^{-u}\,du = \frac{1}{3}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{8} = \frac{1}{3}\left(1-e^{-8}\right).

Passo 8

Combinar o fator angular com a integral radial:
\text{integral total} = \pi \times \frac{1}{3}\left(1-e^{-8}\right) = \frac{\pi}{3}\left(1-e^{-8}\right).
Pronto — chegamos à expressão final. Força aí, essa integral tem um truque bonito (a substituição u=\rho^{3}) que simplifica tudo.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}\left(1-e^{-8}\right)

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