Calcule
Use coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Usamos as informações dadas nos limites:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
A tarefa é avaliar esse integral usando coordenadas esféricas e apresentar o resultado final.
Passo 2
Interpretação geométrica da região de integração (pegando os limites do enunciado):
- Da condição
obtemos e . - Da condição
obtemos e .
Portanto a região é o conjunto de pontos dentro da esfera de raio(pois ), com as restrições e . Isso corresponde a um quarto da esfera de raio : metade em vezes metade em , com liberado no sinal.
Passo 3
Definição e fórmulas de coordenadas esféricas (aula rápida):
- Em coordenadas esféricas usuais usamos três variáveis
com Aqui é a distância à origem, é o ângulo polar (medido a partir do eixo positivo), e é o ângulo azimutal no plano (medido a partir do eixo positivo). - O elemento de volume em coordenadas esféricas é
que aparece porque a transformação de coordenadas tem jacobiano . (Intuição rápida: vem da área de um elemento de superfície esférica vezes o comprimento radial.)
Passo 4
Determinar os limites em esféricas a partir da descrição da região:
- A condição
vira simplesmente . - A condição
implica , logo . - A condição
implica , logo .
Portanto os limites são
Passo 5
Converter o integrando para esféricas:
- Observação:
. Então - Logo o integrando
vira . - Multiplicando pelo jacobiano, o integrando completo em esféricas é
.
Assim o integral passa a ser
Passo 6
Separar integrais (as variáveis são separáveis aqui):
Calcule as integrais angulares primeiro:
-
-
Portanto o fator angular total é.
Passo 7
Calcular a integral radial
Fazer a substituição
. Então
, ou seja
.
Os limites: ,
.
Assim
Os limites:
Assim
Passo 8
Combinar o fator angular com a integral radial:
Pronto — chegamos à expressão final. Força aí, essa integral tem um truque bonito (a substituição
) que simplifica tudo.