Calcule a integral.
\int \frac{1}{x^{3}-8} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{x^{3}-8}\,dx
O conteúdo necessário é decomposição em frações parciais, completar quadrado e usar integrais padrão de \ln e \arctan.

Passo 2

Fatoramos o denominador como diferença de cubos:
x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)
e propomos a decomposição
\frac{1}{x^{3}-8} =\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+4}

Passo 3

Multiplicando por (x-2)(x^{2}+2x+4) e igualando coeficientes, obtemos
1=A(x^{2}+2x+4)+(Bx+C)(x-2).
Expandindo e agrupando:
(A+B)x^{2}+(2A-2B+C)x+(4A-2C)=1.
Isto gera o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\\\ 2A-2B+C=0,\\\\ 4A-2C=1. \end{cases}
Resolvendo, achamos
A=\frac{1}{12},\quad B=-\frac{1}{12},\quad C=-\frac{1}{3}.

Passo 4

Escrevendo a integral em frações parciais:
\int \frac{1}{x^{3}-8}\,dx =\frac{1}{12}\int \frac{dx}{x-2} +\int \frac{-\tfrac{1}{12}x-\tfrac{1}{3}}{x^{2}+2x+4}\,dx.

Passo 5

No segundo termo, escrevemos o numerador como M vezes a derivada do denominador mais constante:
Bx+C=-\frac{1}{12}x-\frac{1}{3} =M\,(2x+2)+N.
Comparando coeficientes,
M=-\frac{1}{24},\quad N=-\frac{1}{4}.
Logo
\int \frac{-\tfrac{1}{12}x-\tfrac{1}{3}}{x^{2}+2x+4}\,dx =-\frac{1}{24}\int\frac{2x+2}{x^{2}+2x+4}\,dx -\frac{1}{4}\int\frac{dx}{x^{2}+2x+4}.

Passo 6

Integramos cada parte:
  1. \displaystyle \int\frac{dx}{x-2}=\ln\lvert x-2\rvert.
  2. \displaystyle \int\frac{2x+2}{x^{2}+2x+4}\,dx=\ln(x^{2}+2x+4).
  3. Para \displaystyle \int\frac{dx}{x^{2}+2x+4}, completamos o quadrado:
x^{2}+2x+4=(x+1)^{2}+3,
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\int\frac{dx}{(x+1)^{2}+3} =\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt{3}}\bigr).

Resposta

\boxed{ \int \frac{1}{x^{3}-8}\,dx =\frac{1}{12}\ln\lvert x-2\rvert -\frac{1}{24}\ln\!(x^{2}+2x+4) -\frac{1}{4\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\Bigr) +C }

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