Calcule a integral.
\int \frac{2 x^{2}-3 x}{\left(x^{2}+1\right)(3 x+2)} d x

Passo 1

Estamos encarando a integral
\int \frac{2x^{2}-3x}{(x^{2}+1)(3x+2)}\,dx.
É uma função racional cujo denominador já está fatorado, então a estratégia natural é usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Suponha que
\frac{2x^{2}-3x}{(x^{2}+1)(3x+2)} =\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{C}{3x+2}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(3x+2), obtemos
2x^{2}-3x=(Ax+B)(3x+2)+C(x^{2}+1).
Expandindo o lado direito:
(Ax+B)(3x+2)+C(x^{2}+1) =(3A+C)x^{2}+(2A+3B)x+(2B+C).

Passo 4

Igualando coeficientes de x^{2}, x e termo constante, chegamos ao sistema
3A+C=2, \quad 2A+3B=-3, \quad 2B+C=0.
Resolvendo, achamos
A=0,\quad B=-1,\quad C=2.

Passo 5

Com esses valores, a integral se escreve como soma de duas integrais simples:
\int \frac{2x^{2}-3x}{(x^{2}+1)(3x+2)}\,dx =\int \frac{-1}{x^{2}+1}\,dx +2\int \frac{1}{3x+2}\,dx.
Agora, basta lembrar que
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan(x), \quad \int \frac{1}{3x+2}\,dx=\frac{1}{3}\ln\bigl|3x+2\bigr|.
Logo
\int \frac{-1}{x^{2}+1}\,dx=-\arctan(x), \quad 2\int \frac{1}{3x+2}\,dx=\frac{2}{3}\ln\bigl|3x+2\bigr|.

Resposta

-\arctan(x)+\tfrac{2}{3}\ln\bigl|3x+2\bigr|+C.

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