Calcule a integral.
\int \frac{3}{(x+1)(1-2 x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3}{(x+1)(1-2x)}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de fração racional com denominadores lineares, e vamos usar o método de frações parciais para decompor em termos mais fáceis de integrar.

Passo 2

Assumimos a decomposição
\frac{3}{(x+1)(1-2x)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{1-2x}.
Nosso objetivo é achar A e B.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x+1)(1-2x)\), obtendo \[3 = A(1-2x) + B(x+1).
Expandindo o lado direito dá
3 = A - 2Ax + Bx + B = (A+B) + x(-2A+B).
Igualando coeficientes de x e constantes:
\begin{cases} -2A + B = 0,\\\ A + B = 3. \end{cases}
Da primeira equação vem (B=2A]. Substituindo na segunda:
A + 2A =3 \quad\Longrightarrow\quad A=1,\quad B=2.

Passo 4

Substituindo na decomposição, a integral vira
\int \frac{3}{(x+1)(1-2x)}\,dx = \int \frac{1}{x+1}\,dx + 2 \int \frac{1}{1-2x}\,dx.

Passo 5

  1. Para \displaystyle\int \frac{1}{x+1}\,dx, sabemos que
\int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\bigl|x+1\bigr|.
  1. Para \displaystyle\int \frac{1}{1-2x}\,dx, fazemos u=1-2x, du=-2\,dx, logo
\int \frac{1}{1-2x}\,dx = \int \frac{-1}{2}\,\frac{du}{u} = -\tfrac12 \ln\bigl|u\bigr| = -\tfrac12 \ln\bigl|1-2x\bigr|.
Multiplicando por 2:
2\int \frac{1}{1-2x}\,dx = -\ln\bigl|1-2x\bigr|.

Passo 6

Somando as duas partes, obtemos
\int \frac{3}{(x+1)(1-2x)}\,dx = \ln\bigl|x+1\bigr| - \ln\bigl|1-2x\bigr| + C = \ln\!\biggl(\frac{|x+1|}{|1-2x|}\biggr) + C.

Resposta

\ln\!\biggl(\frac{|x+1|}{|1-2x|}\biggr) + C.

Exercícios relacionados