Calcule a integral.
int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral indefinida a ser calculada e pede o valor da antiderivada:
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx .
Informações fornecidas: a função integranda é \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}. O que se quer: encontrar uma função F(x) cuja derivada seja \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} e escrever a resposta com a constante de integração C.

Passo 2

Ideia de resolução (explicada passo a passo): quando aparece uma expressão do tipo \sqrt{1+x^{2}} no denominador e o numerador é proportional a x, uma substituição que simplifica é tomar a expressão dentro da raiz como nova variável. Vou explicar a técnica de substituição:
\text{Faça } u = 1+x^{2}.ç
Agora calculamos o diferencial du. Diferenciando ambos os lados em relação a x (regra da derivada):
du = 2x\,dx.
Isso significa que
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
A substituição transforma a parte x\,dx da integral em \dfrac{1}{2}du, e a raiz \sqrt{1+x^{2}} vira \sqrt{u}.

Passo 3

Fazer a substituição na integral original: trocar todas as ocorrências de x e dx por expressões em u.
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2}\,du .
Simplificando a constante:
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du .

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potencia para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n = -\tfrac{1}{2}, então n+1 = \tfrac{1}{2}. Aplicando:
\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2} + C.
Como \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1/2}=1, isso fica simplesmente
u^{1/2}+C.

Passo 5

Voltar à variável original substituindo u=1+x^{2}:
u^{1/2}+C = \sqrt{1+x^{2}}+C.
Vale sempre conferir derivando o resultado (checar é uma boa prática): derivada de \sqrt{1+x^{2}}=(1+x^{2})^{1/2} é, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}(1+x^{2})^{1/2} = \frac{1}{2}(1+x^{2})^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},
que é exatamente a integranda. Logo a antiderivada está correta.

Resposta

\sqrt{1+x^{2}}+C

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