Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado dá a integral indefinida a ser calculada e pede o valor da antiderivada:
Informações fornecidas: a função integranda é
. O que se quer: encontrar uma função
cuja derivada seja
e escrever a resposta com a constante de integração
.
Passo 2
Ideia de resolução (explicada passo a passo): quando aparece uma expressão do tipo
no denominador e o numerador é proportional a
, uma substituição que simplifica é tomar a expressão dentro da raiz como nova variável. Vou explicar a técnica de substituição:
Agora calculamos o diferencial
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(regra da derivada):
Isso significa que
A substituição transforma a parte
da integral em
, e a raiz
vira
.
Passo 3
Fazer a substituição na integral original: trocar todas as ocorrências de
e
por expressões em
.
Simplificando a constante:
Passo 4
Agora aplicamos a regra de potencia para integrais: para
,
Aqui
, então
. Aplicando:
Como
, isso fica simplesmente
Passo 5
Voltar à variável original substituindo
:
Vale sempre conferir derivando o resultado (checar é uma boa prática): derivada de
é, pela regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Logo a antiderivada está correta.