- Exercício 6 - Um circuito RLC em serie consiste de
,
e um capacitor. Determine o tipo de resposta apresentada pela rede caso:
Passo 1
O enunciado dá um circuito série RLC com os seguintes valores:
O que pede o problema:
- Determinar o tipo de resposta natural que a rede apresenta (por exemplo: subamortecida/oscilatória, criticamente amortecida ou superamortecida), no caso em que
.
Passo 2
Vamos escrever a equação diferencial homogênea que descreve a resposta natural de corrente
num circuito série RLC (sem fontes externas, resposta natural). A lei de tensões de Kirchhoff dá:
Explicando cada termo:
-
representa a tensão no indutor (proporcional à derivada da corrente). -
na verdade é ; aqui o termo correto é (tensão no resistor é ), portanto a forma padrão é . (Nota: o termo do resistor está em primeira derivada se escrevemos em termos de carga; em corrente fica . A forma canônica usada abaixo é a que leva a uma equação quadrática característica padrão.)
Para obter a equação característica fazemos a substituição
. Isso gera a equação característica (em forma normalizada):
É conveniente escrever essa equação na forma padronizada
onde definimos:
-
é a taxa de amortecimento (em s^{-1}), dada por . -
é a frequência natural não amortecida (em rad/s), dada por .
O tipo de resposta depende da comparação entre
e
:
- Se
: superamortecida (duas raízes reais negativas, sem oscilação). - Se
: criticamente amortecida (uma raiz real dupla). - Se
: subamortecida (raízes complexas conjugadas → oscilação amortecida).
Passo 3
Calcular
com os dados:
Calcular
com os dados (pegando
):
Passo 4
Comparação:
Como
, concluímos que o circuito está na condição de superamortecimento (resposta superamortecida). Isso significa que a solução da equação característica terá duas raízes reais distintas e negativas, e a resposta natural será soma de dois decaimentos exponenciais sem oscilações.
Passo 5
Para ser completo, vamos calcular explicitamente as raízes
da equação característica:
Substituindo os valores:
Logo
Numericamente:
A solução geral da resposta natural (corrente) tem a forma
com constantes
determinadas pelas condições iniciais. Observação prática: ambas as constantes exponenciais decaem no tempo (raízes negativas), mas em velocidades diferentes — por isso a forma de soma de dois decaimentos.
Resposta
Resposta superamortecida (duas raízes reais negativas distintas:
,
).