• Exercício 6 - Um circuito RLC em serie consiste de \mathrm{R}=2 \Omega, \mathrm{L}=1 \mathrm{H} e um capacitor. Determine o tipo de resposta apresentada pela rede caso:
    C=2 \mathrm{~F}

Passo 1

O enunciado dá um circuito série RLC com os seguintes valores:
  • R=2\\ \Omega
  • L=1\\ \mathrm{H}
  • C=2\\ \mathrm{F}
O que pede o problema:
  • Determinar o tipo de resposta natural que a rede apresenta (por exemplo: subamortecida/oscilatória, criticamente amortecida ou superamortecida), no caso em que C=2\\ \mathrm{F}.

Passo 2

Vamos escrever a equação diferencial homogênea que descreve a resposta natural de corrente i(t) num circuito série RLC (sem fontes externas, resposta natural). A lei de tensões de Kirchhoff dá:
L\frac{d^{2}i}{dt^{2}} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}i = 0.
Explicando cada termo:
  • L\frac{d^{2}i}{dt^{2}} representa a tensão no indutor (proporcional à derivada da corrente).
  • R\frac{di}{dt} na verdade é R i; aqui o termo correto é R i (tensão no resistor é R\,i), portanto a forma padrão é L\frac{d^{2}i}{dt^{2}} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C} i = 0. (Nota: o termo do resistor está em primeira derivada se escrevemos em termos de carga; em corrente fica R i. A forma canônica usada abaixo é a que leva a uma equação quadrática característica padrão.)
Para obter a equação característica fazemos a substituição i(t)\propto e^{s t}. Isso gera a equação característica (em forma normalizada):
s^{2} + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC} = 0.
É conveniente escrever essa equação na forma padronizada
s^{2} + 2\alpha s + \omega_{0}^{2} = 0,
onde definimos:
  • \alpha é a taxa de amortecimento (em s^{-1}), dada por \displaystyle \alpha = \frac{R}{2L}.
  • \omega_{0} é a frequência natural não amortecida (em rad/s), dada por \displaystyle \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
O tipo de resposta depende da comparação entre \alpha e \omega_{0}:
  • Se \alpha>\omega_{0}: superamortecida (duas raízes reais negativas, sem oscilação).
  • Se \alpha=\omega_{0}: criticamente amortecida (uma raiz real dupla).
  • Se \alpha<\omega_{0}: subamortecida (raízes complexas conjugadas → oscilação amortecida).

Passo 3

Calcular \alpha com os dados:
\alpha = \frac{R}{2L} = \frac{2}{2\cdot 1} = 1\\ \text{s}^{-1}.
Calcular \omega_{0} com os dados (pegando C=2\\ \mathrm{F}):
\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{1\cdot 2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071\\ \text{s}^{-1}.

Passo 4

Comparação:
\alpha = 1\quad\text{e}\quad \omega_{0}\approx 0{,}7071.
Como \alpha>\omega_{0}, concluímos que o circuito está na condição de superamortecimento (resposta superamortecida). Isso significa que a solução da equação característica terá duas raízes reais distintas e negativas, e a resposta natural será soma de dois decaimentos exponenciais sem oscilações.

Passo 5

Para ser completo, vamos calcular explicitamente as raízes s da equação característica:
s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}.
Substituindo os valores:
\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}=1^{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Logo
s = -1 \pm \sqrt{\tfrac{1}{2}} = -1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.
Numericamente:
s_{1} = -1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\approx -0{,}2929,\qquad s_{2} = -1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\approx -1{,}7071.
A solução geral da resposta natural (corrente) tem a forma
i(t)=A e^{s_{1} t}+B e^{s_{2} t},
com constantes A,B determinadas pelas condições iniciais. Observação prática: ambas as constantes exponenciais decaem no tempo (raízes negativas), mas em velocidades diferentes — por isso a forma de soma de dois decaimentos.

Resposta

Resposta superamortecida (duas raízes reais negativas distintas: s_{1}\approx -0{,}2929, s_{2}\approx -1{,}7071).

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