Calcule a integral.
int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx.
Informações dadas e assumidas:
  • O parâmetro \,a\, é uma constante positiva (precisamos de a>0 para que \sqrt{a^{2}-x^{2}} esteja bem definida no intervalo).
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=a.
  • A incógnita é o valor da integral em função de \,a.

Passo 2

Escolha do método: uma substituição trigonométrica é natural porque aparece a raiz \sqrt{a^{2}-x^{2}}. A substituição clássica é
x = a\sin\theta,
pois então \sqrt{a^{2}-x^{2}} se simplifica. Vamos transformar a integral usando essa substituição. Primeiro calculemos os novos limites e o diferencial:
  • Quando x=0 temos \theta=0.
  • Quando x=a temos \sin\theta=1, logo \theta=\dfrac{\pi}{2}.
  • Diferencial: dx = a\cos\theta\,d\theta.
  • A raiz: \sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta}=a\cos\theta.

Passo 3

Substituindo tudo na integral:
x^{2} = a^{2}\sin^{2}\theta, \qquad \sqrt{a^{2}-x^{2}} = a\cos\theta, \qquad dx = a\cos\theta\,d\theta.
Portanto o integrando fica
x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = \bigl(a^{2}\sin^{2}\theta\bigr)\bigl(a\cos\theta\bigr)\bigl(a\cos\theta\,d\theta\bigr) = a^{4}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta.
Os limites em \theta são de 0 a \dfrac{\pi}{2}. Assim a integral vira
\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Simplificar a função trigonométrica para integrar facilmente. Use a identidade \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, então
\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta = \left(\frac{\sin 2\theta}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}\sin^{2}2\theta.
Outra identidade útil é \sin^{2}\varphi = \dfrac{1-\cos 2\varphi}{2}. Aplicando com \varphi=2\theta obtemos
\sin^{2}2\theta = \frac{1-\cos 4\theta}{2},
portanto
\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta = \frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos 4\theta}{2} = \frac{1}{8}\bigl(1-\cos 4\theta\bigr).
Substituindo na integral:
a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta = a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{8}\bigl(1-\cos 4\theta\bigr)\,d\theta = \frac{a^{4}}{8}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\cos 4\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Calcule a integral simples:
\int\bigl(1-\cos 4\theta\bigr)\,d\theta = \theta - \frac{1}{4}\sin 4\theta + C.
Avaliando de 0 a \dfrac{\pi}{2}:
  • Em \theta=\dfrac{\pi}{2}: \theta = \dfrac{\pi}{2} e \sin 4\theta = \sin 2\pi = 0.
  • Em \theta=0: ambos termos são zero.
    Logo
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\cos 4\theta\bigr)\,d\theta = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{a^{4}}{8} obtemos
\frac{a^{4}}{8}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi a^{4}}{16}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: a integral tem dimensão de a^{4}, e o resultado final \dfrac{\pi a^{4}}{16} segue essa escala. Para a=1 o valor é \dfrac{\pi}{16}\approx0{,}1963, que é um número razoável para a área ponderada pela raiz.

Resposta

\dfrac{\pi a^{4}}{16}

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