Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e assumidas:
- O parâmetro
é uma constante positiva (precisamos de para que esteja bem definida no intervalo). - O intervalo de integração é de
até . - A incógnita é o valor da integral em função de
.
Passo 2
Escolha do método: uma substituição trigonométrica é natural porque aparece a raiz
. A substituição clássica é
pois então
se simplifica. Vamos transformar a integral usando essa substituição. Primeiro calculemos os novos limites e o diferencial:
- Quando
temos . - Quando
temos , logo . - Diferencial:
. - A raiz:
.
Passo 3
Substituindo tudo na integral:
Portanto o integrando fica
Os limites em
são de
a
. Assim a integral vira
Passo 4
Simplificar a função trigonométrica para integrar facilmente. Use a identidade
, então
Outra identidade útil é
. Aplicando com
obtemos
portanto
Substituindo na integral:
Passo 5
Calcule a integral simples:
Avaliando de
a
:
- Em
: e . - Em
: ambos termos são zero.
Logo
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: a integral tem dimensão de
, e o resultado final
segue essa escala. Para
o valor é
, que é um número razoável para a área ponderada pela raiz.