Calcule a integral.
\int \frac{x}{(x+2)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
\int \frac{x}{(x+2)^{2}}\,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções racionais, e uma forma eficiente é usar substituição para simplificar o denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 2
Logo
x = u - 2 \quad\text{e}\quad dx = du.
Substituindo em \frac{x}{(x+2)^{2}}\,dx, obtemos
\int \frac{u - 2}{u^{2}}\,du.

Passo 3

Dividimos o numerador pelo denominador para transformar em potências de u:
\frac{u - 2}{u^{2}} = \frac{u}{u^{2}} \;-\;\frac{2}{u^{2}} = u^{-1} \;-\; 2\,u^{-2}.
Assim a integral vira
\int \bigl(u^{-1} - 2\,u^{-2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra \int u^{n}\,du = u^{n+1}/(n+1) (para n\neq -1) e \int u^{-1}\,du = \ln|u|:
\int u^{-1}\,du = \ln|u|, \qquad \int (-2\,u^{-2})\,du = -2\;\frac{u^{-1}}{-1} = 2\,u^{-1}.
Portanto
\int \bigl(u^{-1} - 2\,u^{-2}\bigr)\,du = \ln|u| + 2\,u^{-1} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x (lembre que u = x + 2):
\ln|u| + 2\,u^{-1} + C \;\longrightarrow\; \ln\bigl|x+2\bigr| + \frac{2}{x+2} + C.

Resposta

\int \frac{x}{(x+2)^{2}}\,dx = \ln\bigl|x+2\bigr| + \frac{2}{x+2} + C.

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