Calcule a integral.
\int \frac{\sqrt{x-2}}{x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\sqrt{x-2}}{x+2}\,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição para eliminar a raiz. Vamos usar uma mudança de variável que simplifique \sqrt{x-2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{x-2}
Logo, x = t^2 + 2 e
dx = 2t\,dt.
Além disso, o denominador fica
x + 2 = t^2 + 2 + 2 = t^2 + 4,
e o numerador \sqrt{x-2} vira simplesmente t.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{\sqrt{x-2}}{x+2}\,dx = \int \frac{t}{t^2+4}\,\bigl(2t\,dt\bigr) = \int \frac{2t^2}{t^2+4}\,dt.

Passo 4

Fazemos a divisão algébrica dentro do integrando:
\frac{2t^2}{t^2+4} = 2\,\frac{t^2+4 - 4}{t^2+4} = 2\Bigl(1 - \frac{4}{t^2+4}\Bigr) = 2 - \frac{8}{t^2+4}.
Assim a integral se separa em
\int \Bigl(2 - \frac{8}{t^2+4}\Bigr)\,dt = \int 2\,dt \;-\; \int \frac{8}{t^2+4}\,dt.
Integramos termo a termo:
\int 2\,dt = 2t, \qquad \int \frac{8}{t^2+4}\,dt = 8 \cdot \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) = 4\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr).

Passo 5

Juntando os resultados e voltando à variável x ( t=\sqrt{x-2}), temos
\int \frac{\sqrt{x-2}}{x+2}\,dx = 2t \;-\; 4\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) + C = 2\sqrt{x-2} \;-\; 4\arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{x-2}}{2}\bigr) + C.

Resposta

2\sqrt{x-2} \;-\; 4\arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{x-2}}{2}\bigr) + C

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