Calcule a integral.
\int \frac{x+2}{x^{2}+x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+2}{x^{2}+x+2}\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de função racional simples. Vamos usar a ideia de escrever o numerador como uma combinação da derivada do denominador e de uma constante, depois aplicar
  1. \displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C
  2. \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)+C.

Passo 2

Chamando D(x)=x^{2}+x+2, note que
D'(x)=2x+1.
Procuramos constantes A e B tais que
x+2 = A\,(2x+1) + B.
Igualando coeficientes em 2A\,x + A + B = x+2 obtemos
2A = 1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac12, \qquad A+B=2\quad\Rightarrow\quad B=\tfrac32.

Passo 3

Com isso a integral se separa:
\int \frac{x+2}{x^{2}+x+2}\,dx = \int \frac{\tfrac12(2x+1)+\tfrac32}{D(x)}\,dx = \frac12\int \frac{2x+1}{D(x)}\,dx + \frac32\int \frac{dx}{D(x)}.

Passo 4

Para a primeira parte, uso diretamente
\int \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}\,dx = \ln\bigl(x^{2}+x+2\bigr)+C.

Passo 5

Para a segunda parte, completo o quadrado em D(x):
x^{2}+x+2 = \bigl(x+\tfrac12\bigr)^{2} + \tfrac74.
Logo
\int \frac{dx}{x^{2}+x+2} = \int \frac{dx}{\bigl(x+\tfrac12\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}\bigr)^{2}} = \frac{2}{\sqrt7}\;\arctan\!\Bigl(\frac{x+\tfrac12}{\tfrac{\sqrt7}{2}}\Bigr)+C = \frac{2}{\sqrt7}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt7}\Bigr)+C.

Passo 6

Reunindo tudo e ajustando constantes:
\int \frac{x+2}{x^{2}+x+2}\,dx = \frac12 \ln\bigl(x^{2}+x+2\bigr) + \frac32 \cdot \frac{2}{\sqrt7}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt7}\Bigr) + C = \frac12\ln\bigl(x^{2}+x+2\bigr) + \frac{3}{\sqrt7}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt7}\Bigr) + C.

Resposta

\frac12\ln\bigl(x^{2}+x+2\bigr) + \frac{3}{\sqrt7}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt7}\Bigr) + C.

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