Calcule a integral.
\int \frac{1+\cos ^{2} x}{1-\cos ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{1+\cos^2 x}{1-\cos^2 x}\,dx.
O conteúdo envolve identidades trigonométricas (especialmente 1-\cos^2 x=\sin^2 x) e as primitivas de \csc^2 x e de função constante.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando
1+\cos^2 x = 2-\sin^2 x \quad\text{e}\quad 1-\cos^2 x = \sin^2 x.
Assim,
\frac{1+\cos^2 x}{1-\cos^2 x} =\frac{2-\sin^2 x}{\sin^2 x} =2\frac{1}{\sin^2 x}-1 =2\csc^2 x-1.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
\int\bigl(2\csc^2 x-1\bigr)\,dx =2\int\csc^2 x\,dx \;-\;\int 1\,dx.
Sabemos que
\int\csc^2 x\,dx = -\cot x \quad\text{e}\quad \int 1\,dx = x.

Passo 4

Substituindo as primitivas, obtemos
2(-\cot x) - x + C =-2\cot x - x + C.

Resposta

-x - 2\cot x + C

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