Calcule a integral.
\int_{1}^{3}|\ln (x / 2)| d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{1}^{3} \bigl|\ln(x/2)\bigr|\,dx.
Para resolver, vamos usar o conceito de valor absoluto, identificando onde \ln(x/2)=0 e dividindo o intervalo em duas partes, e depois calcular primitivas de \ln(x/2).

Passo 2

Determinamos onde \ln(x/2)=0.
\ln(x/2)=0 \iff x/2=1 \iff x=2.
Logo, dividimos a integral em
\int_{1}^{2}\bigl|\ln(x/2)\bigr|\,dx + \int_{2}^{3}\bigl|\ln(x/2)\bigr|\,dx.
Em [1,2] temos \ln(x/2)\le0, então \bigl|\ln(x/2)\bigr|=-\ln(x/2).
Em [2,3] temos \ln(x/2)\ge0, logo \bigl|\ln(x/2)\bigr|=\ln(x/2).

Passo 3

Para encontrar as primitivas, escrevemos
\ln(x/2)=\ln x - \ln2.
Sabendo que
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C,
vemos que
\int \ln(x/2)\,dx = \int(\ln x - \ln2)\,dx = x\ln x - x - x\ln2 + C = x\ln x - x\ln2 - x + C,
e
\int -\ln(x/2)\,dx = -\bigl(x\ln x - x\ln2 - x\bigr) + C = -x\ln x + x\ln2 + x + C.

Passo 4

Calculamos a parte de 1 a 2:
\int_{1}^{2} -\ln(x/2)\,dx = \Bigl[-x\ln x + x\ln2 + x\Bigr]_{1}^{2} = \bigl(-2\ln2 +2\ln2 +2\bigr) - \bigl(-1\ln1+1\ln2+1\bigr) = 2 - (\ln2+1) = 1 - \ln2.

Passo 5

Calculamos a parte de 2 a 3:
\int_{2}^{3} \ln(x/2)\,dx = \Bigl[x\ln x - x\ln2 - x\Bigr]_{2}^{3} = \bigl(3\ln3 -3\ln2 -3\bigr) - \bigl(2\ln2 -2\ln2 -2\bigr) = 3(\ln3-\ln2) -3 +2 = 3\ln\frac{3}{2} -1.
Somando as duas parcelas:
1 - \ln2 + 3\ln\frac{3}{2} -1 = -\ln2 + 3\ln\frac{3}{2}.

Passo 6

Simplificamos a expressão:
-\ln2 + 3\ln\frac{3}{2} = 3(\ln3 - \ln2) - \ln2 = 3\ln3 - 3\ln2 - \ln2 = 3\ln3 - 4\ln2 = \ln\bigl(\tfrac{3^3}{2^4}\bigr) = \ln\frac{27}{16}.

Resposta

\ln\frac{27}{16}

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