Calcule a integral. \int_{1}^{3}|\ln (x / 2)| d x Passo 1O enunciado pede a integral definida \int_{1}^{3} \bigl|\ln(x/2)\bigr|\,dx. Para resolver, vamos usar o conceito de valor absoluto, identificando onde \ln(x/2)=0 e dividindo o intervalo em duas partes, e depois calcular primitivas de \ln(x/2). Passo 2Determinamos onde \ln(x/2)=0. \ln(x/2)=0 \iff x/2=1 \iff x=2. Logo, dividimos a integral em \int_{1}^{2}\bigl|\ln(x/2)\bigr|\,dx + \int_{2}^{3}\bigl|\ln(x/2)\bigr|\,dx. Em [1,2] temos \ln(x/2)\le0, então \bigl|\ln(x/2)\bigr|=-\ln(x/2). Em [2,3] temos \ln(x/2)\ge0, logo \bigl|\ln(x/2)\bigr|=\ln(x/2). Passo 3Para encontrar as primitivas, escrevemos \ln(x/2)=\ln x - \ln2. Sabendo que \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C, vemos que \int \ln(x/2)\,dx = \int(\ln x - \ln2)\,dx = x\ln x - x - x\ln2 + C = x\ln x - x\ln2 - x + C, e \int -\ln(x/2)\,dx = -\bigl(x\ln x - x\ln2 - x\bigr) + C = -x\ln x + x\ln2 + x + C. Passo 4Calculamos a parte de 1 a 2: \int_{1}^{2} -\ln(x/2)\,dx = \Bigl[-x\ln x + x\ln2 + x\Bigr]_{1}^{2} = \bigl(-2\ln2 +2\ln2 +2\bigr) - \bigl(-1\ln1+1\ln2+1\bigr) = 2 - (\ln2+1) = 1 - \ln2. Passo 5Calculamos a parte de 2 a 3: \int_{2}^{3} \ln(x/2)\,dx = \Bigl[x\ln x - x\ln2 - x\Bigr]_{2}^{3} = \bigl(3\ln3 -3\ln2 -3\bigr) - \bigl(2\ln2 -2\ln2 -2\bigr) = 3(\ln3-\ln2) -3 +2 = 3\ln\frac{3}{2} -1. Somando as duas parcelas: 1 - \ln2 + 3\ln\frac{3}{2} -1 = -\ln2 + 3\ln\frac{3}{2}. Passo 6Simplificamos a expressão: -\ln2 + 3\ln\frac{3}{2} = 3(\ln3 - \ln2) - \ln2 = 3\ln3 - 3\ln2 - \ln2 = 3\ln3 - 4\ln2 = \ln\bigl(\tfrac{3^3}{2^4}\bigr) = \ln\frac{27}{16}. Resposta \ln\frac{27}{16} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule a integral. \int \operatorname{tg}^{2} 4 x d x Calcule a integral. \int \operatorname{cotg}^{3} 2 x \operatorname{cossec}^{3} 2 x d x Calcule a integral. \int \frac{x+2}{x^{2}+x+2} d x