Calcule a integral.
\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y
\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações recebidas:
A pergunta é: qual é o valor numérico exato de
?
Passo 2
Vamos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Aqui
e
são escolhas que fazemos para transformar a integral original numa mais simples. As diferentes quantidades significam:
Um lembrete prático: escolha
como a parte que fica mais simples ao derivar, e
como a parte que é fácil de integrar.
Passo 3
Escolhemos
Derivando
e integrando
obtemos
Para integrar
usamos a regra
. Com
temos
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes na integral
:
Substituindo
,
e
:
Isso é
O segundo termo na primeira parte é zero porque
anula o fator
. Então
Passo 5
Calculamos agora
. Usando a mesma regra de integração de exponencial:
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
Agora simplificamos:
Colocando em forma factorizada: