Calcule a integral.
\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}}\,dy.
Informações recebidas:
\text{integrando: }\frac{y}{e^{2y}} = y e^{-2y},\qquad \text{intervalo: }[0,1].
A pergunta é: qual é o valor numérico exato de \displaystyle\int_{0}^{1} y e^{-2y}\,dy?

Passo 2

Vamos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u e dv são escolhas que fazemos para transformar a integral original numa mais simples. As diferentes quantidades significam:
u=\text{função escolhida},\quad dv=\text{o restante da diferencial},\quad du=\frac{du}{dy}\,dy,\quad v=\int dv.çã
Um lembrete prático: escolha u como a parte que fica mais simples ao derivar, e dv como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Escolhemos
u = y,\qquad dv = e^{-2y}\,dy.
Derivando u e integrando dv obtemos
du = dy,
v = \int e^{-2y}\,dy.
Para integrar e^{-2y} usamos a regra \int e^{ay}\,dy = \frac{1}{a}e^{ay}. Com a=-2 temos
v = \frac{1}{-2} e^{-2y} = -\tfrac{1}{2} e^{-2y}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes na integral \displaystyle\int_{0}^{1} y e^{-2y}\,dy:
\int_{0}^{1} y e^{-2y}\,dy = \Big[ u v \Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int_{0}^{1} y e^{-2y}\,dy = \left[-\tfrac{y}{2} e^{-2y}\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \left(-\tfrac{1}{2} e^{-2y}\right) dy.
Isso é
\int_{0}^{1} y e^{-2y}\,dy = \left(-\tfrac{1}{2} e^{-2}\cdot 1\right) - \left(-\tfrac{1}{2} e^{0}\cdot 0\right) + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-2y}\,dy.
O segundo termo na primeira parte é zero porque y=0 anula o fator y. Então
\int_{0}^{1} y e^{-2y}\,dy = -\tfrac{1}{2} e^{-2} + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-2y}\,dy.

Passo 5

Calculamos agora \displaystyle\int_{0}^{1} e^{-2y}\,dy. Usando a mesma regra de integração de exponencial:
\int_{0}^{1} e^{-2y}\,dy = \left[-\tfrac{1}{2} e^{-2y}\right]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{2} e^{-2} - \left(-\tfrac{1}{2} e^{0}\right) = -\tfrac{1}{2} e^{-2} + \tfrac{1}{2}.
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
\int_{0}^{1} y e^{-2y}\,dy = -\tfrac{1}{2} e^{-2} + \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2} e^{-2} + \tfrac{1}{2}\right).
Agora simplificamos:
\int_{0}^{1} y e^{-2y}\,dy = -\tfrac{1}{2} e^{-2} - \tfrac{1}{4} e^{-2} + \tfrac{1}{4} = -\tfrac{3}{4} e^{-2} + \tfrac{1}{4}.
Colocando em forma factorizada:
\int_{0}^{1} y e^{-2y}\,dy = \tfrac{1}{4}\bigl(1 - 3 e^{-2}\bigr).

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{4}\bigl(1 - 3 e^{-2}\bigr)

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