\int 2 x \sqrt{1+x^{2}} d x
\int \operatorname{sen} 5 x d x
\int e^{5 x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as primitivais (integrais indefinidas) das três funções abaixo. As expressões dadas são:
\int 2 x \sqrt{1+x^{2}}\,dx
\int \operatorname{sen}5x\,dx
\int e^{5x}\,dx
Não vou resolver nada neste passo, só deixei claro cada integral que precisamos encontrar.

Passo 2

Resolvendo a primeira integral \displaystyle \int 2 x \sqrt{1+x^{2}}\,dx.
  1. Ideia e escolha da substituição: quando aparece um fator 2x junto com uma função de 1+x^{2}, é muito natural fazer a substituição u=1+x^{2} porque a derivada de 1+x^{2} é exatamente 2x. A técnica chama-se substituição (ou mudança de variável) e serve para simplificar a integral.
  2. Execute a substituição:
u = 1+x^{2}.
Então a diferencial é
du = 2x\,dx.
Isso significa que o produto 2x\,dx que já aparece na integral pode ser substituído por du. Portanto a integral fica
\int 2 x \sqrt{1+x^{2}}\,dx = \int \sqrt{u}\,du.
  1. Integre \int \sqrt{u}\,du. Lembre que \sqrt{u}=u^{1/2} e usamos a regra da potência para primitivas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
  1. Volte à variável original x:
\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{2}{3}\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3/2}+C.
Pequena verificação (mental): derivando \frac{2}{3}(1+x^{2})^{3/2} usamos a regra da cadeia e obtemos 2x\sqrt{1+x^{2}}, que é a integranda original — ótimo!

Passo 3

Resolvendo a segunda integral \displaystyle \int \operatorname{sen}5x\,dx.
  1. Observação: \operatorname{sen}5x é a composição \sin(5x). A primitiva de \sin(u) é -\cos(u). Composição por uma função linear 5x traz um ajuste pela derivada interna — técnica da substituição simples ou “regra reversa da cadeia”.
  2. Faça u=5x. Então du=5\,dx, logo dx=\tfrac{du}{5}. Substituindo:
\int \sin(5x)\,dx = \int \sin(u)\cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int \sin(u)\,du.
  1. Integre \sin(u):
\int \sin(u)\,du = -\cos(u)+C.
Portanto
\frac{1}{5}\int \sin(u)\,du = -\frac{1}{5}\cos(u)+C.
  1. Volte para x: -\tfrac{1}{5}\cos(5x)+C.
Dica prática para a prova: quando você tem \int \sin(ax)\,dx a primitiva é -\frac{1}{a}\cos(ax)+C. Mesma ideia vale para \cos(ax) e outras funções compostas por uma constante multiplicando x.

Passo 4

Resolvendo a terceira integral \displaystyle \int e^{5x}\,dx.
  1. A função exponencial composta e^{5x} segue a mesma lógica: derivada de 5x é 5, então ao integrar dividimos por 5. Formalmente, fazemos u=5x, du=5\,dx, dx=\tfrac{du}{5}.
  2. Substituição:
\int e^{5x}\,dx = \int e^{u}\cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int e^{u}\,du.
  1. Sabemos que \int e^{u}\,du = e^{u}+C. Logo
\frac{1}{5}\int e^{u}\,du = \frac{1}{5}e^{u}+C.
  1. Volte para x: \dfrac{1}{5}e^{5x}+C.
Regra prática: \displaystyle \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C.

Passo 5

Resumo rápido e verificação mínima (por derivação): para cada primitiva encontrada, aplicar a derivada deve retornar a integranda original. Isso é útil para checar seus resultados na prova sem erro de fator.
Derivando \dfrac{2}{3}(1+x^{2})^{3/2} 2x\sqrt{1+x^{2}}.
Derivando -\dfrac{1}{5}\cos(5x) \sin(5x).
Derivando \dfrac{1}{5}e^{5x} e^{5x}.
Tudo confere: estamos prontos.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3/2}+C
\displaystyle -\frac{1}{5}\cos(5x)+C
\displaystyle \frac{1}{5}e^{5x}+C

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