Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as primitivais (integrais indefinidas) das três funções abaixo. As expressões dadas são:
Não vou resolver nada neste passo, só deixei claro cada integral que precisamos encontrar.
Passo 2
Resolvendo a primeira integral
.
-
Ideia e escolha da substituição: quando aparece um fator
junto com uma função de , é muito natural fazer a substituição porque a derivada de é exatamente . A técnica chama-se substituição (ou mudança de variável) e serve para simplificar a integral. -
Execute a substituição:
Então a diferencial é
Isso significa que o produto
que já aparece na integral pode ser substituído por
. Portanto a integral fica
- Integre
. Lembre que e usamos a regra da potência para primitivas: para ,
Aqui
, então
- Volte à variável original
:
Pequena verificação (mental): derivando
usamos a regra da cadeia e obtemos
, que é a integranda original — ótimo!
Passo 3
Resolvendo a segunda integral
.
-
Observação:
é a composição . A primitiva de é . Composição por uma função linear traz um ajuste pela derivada interna — técnica da substituição simples ou “regra reversa da cadeia”. -
Faça
. Então , logo . Substituindo:
- Integre
:
Portanto
- Volte para
: .
Dica prática para a prova: quando você tem
a primitiva é
. Mesma ideia vale para
e outras funções compostas por uma constante multiplicando
.
Passo 4
Resolvendo a terceira integral
.
-
A função exponencial composta
segue a mesma lógica: derivada de é , então ao integrar dividimos por . Formalmente, fazemos , , . -
Substituição:
- Sabemos que
. Logo
- Volte para
: .
Regra prática:
.
Passo 5
Resumo rápido e verificação mínima (por derivação): para cada primitiva encontrada, aplicar a derivada deve retornar a integranda original. Isso é útil para checar seus resultados na prova sem erro de fator.
Derivando
dá
.
Derivando dá
.
Derivando dá
.
Derivando
Derivando
Tudo confere: estamos prontos.