Calcule a integral.
\int_{0}^{1 / 2} x \cos \pi x d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{0}^{1/2} x\cos\bigl(\pi x\bigr)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \;x\cos\bigl(\pi x\bigr)\;.
  • Os limites de integração são 0 e 1/2.
  • A tarefa é obter o valor numérico exato da integral.

Passo 2

Método que vamos usar: integração por partes para integrais definidas. Vou explicar a fórmula e o porquê de usá-la passo a passo.
Fórmula (definida): para funções u(x) e v(x) com derivadas adequadas,
\int_{a}^{b} u(x)\,dv(x) = \bigl[u(x)v(x)\bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v(x)\,du(x).
O que isso diz, em palavras: escolhemos quebrar o integrando em um produto u(x)\,dv(x). Calculamos v(x) integrando dv(x) e du(x) derivando u(x). Depois usamos a relação acima, que transforma a integral original em um termo de borda \bigl[u v\bigr]_{a}^{b} menos outra integral que costuma ser mais simples.

Passo 3

Escolha das funções u e dv. Motivação: escolhemos u de modo que sua derivada fique mais simples, e dv de modo que seja fácil integrar.
Escolho
u(x)=x,\qquad dv(x)=\cos\bigl(\pi x\bigr)\,dx.
Motivo: a derivada de x é 1 (muito simples) e integrar \cos(\pi x) dá uma função trigonométrica simples.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivando u:
du(x)=u'(x)\,dx = 1\cdot dx = dx.
Integrando dv para obter v. Sabemos que, para constante a,
\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax).
Aqui a=\pi, logo
v(x)=\int \cos\bigl(\pi x\bigr)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi x\bigr).

Passo 5

Aplicar a fórmula da integração por partes (no caso definido):
\int_{0}^{1/2} x\cos\bigl(\pi x\bigr)\,dx = \biggl[x\cdot \frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi x\bigr)\biggr]_{0}^{1/2} - \int_{0}^{1/2} \frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi x\bigr)\,dx.
Agora vamos avaliar termo a termo.

Passo 6

Avaliar o termo de borda \bigl[x\cdot \frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\bigr]_{0}^{1/2}.
Em x=1/2:
\sin\bigl(\pi\cdot\tfrac{1}{2}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
portanto o termo é
\frac{1}{\pi}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2\pi}.
Em x=0:
x\cdot \frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi x\bigr)=0\cdot \frac{1}{\pi}\sin(0)=0.
Logo o termo de borda total é \dfrac{1}{2\pi}-0=\dfrac{1}{2\pi}.

Passo 7

Calcular a integral restante
\int_{0}^{1/2} \frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi x\bigr)\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{1/2} \sin\bigl(\pi x\bigr)\,dx.
Usamos a antiderivada da função seno com constante: para a=\pi,
\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax).
Aplicando no intervalo:
\int_{0}^{1/2} \sin\bigl(\pi x\bigr)\,dx = \Bigl[-\frac{1}{\pi}\cos\bigl(\pi x\bigr)\Bigr]_{0}^{1/2} = -\frac{1}{\pi}\bigl(\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\cos(0)\bigr).
Calculando os cossenos: \cos(\tfrac{\pi}{2})=0 e \cos(0)=1. Então
\int_{0}^{1/2} \sin\bigl(\pi x\bigr)\,dx = -\frac{1}{\pi}(0-1)=\frac{1}{\pi}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{\pi} que estava fora,
\frac{1}{\pi}\int_{0}^{1/2} \sin\bigl(\pi x\bigr)\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{\pi} = \frac{1}{\pi^{2}}.

Passo 8

Agora juntamos tudo conforme a igualdade do Passo 5:
\int_{0}^{1/2} x\cos\bigl(\pi x\bigr)\,dx = \frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^{2}}.
Fazer uma simplificação algébrica para escrever numa forma única. Colocando em denominador comum 2\pi^{2}:
\frac{1}{2\pi} = \frac{\pi}{2\pi^{2}},\qquad \frac{1}{\pi^{2}}=\frac{2}{2\pi^{2}}.
Subtraindo,
\frac{\pi}{2\pi^{2}} - \frac{2}{2\pi^{2}} = \frac{\pi-2}{2\pi^{2}}.
Portanto a integral avaliada é \dfrac{\pi-2}{2\pi^{2}}.

Resposta

\dfrac{\pi-2}{2\pi^{2}}

Exercícios relacionados