Calcule a integral.
\int_{0}^{1 / 2} x \cos \pi x d x
\int_{0}^{1 / 2} x \cos \pi x d x
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - A tarefa é obter o valor numérico exato da integral.
Passo 2
Método que vamos usar: integração por partes para integrais definidas. Vou explicar a fórmula e o porquê de usá-la passo a passo.
Fórmula (definida): para funções
e
com derivadas adequadas,
O que isso diz, em palavras: escolhemos quebrar o integrando em um produto
. Calculamos
integrando
e
derivando
. Depois usamos a relação acima, que transforma a integral original em um termo de borda
menos outra integral que costuma ser mais simples.
Passo 3
Escolha das funções
e
. Motivação: escolhemos
de modo que sua derivada fique mais simples, e
de modo que seja fácil integrar.
Escolho
Motivo: a derivada de
é
(muito simples) e integrar
dá uma função trigonométrica simples.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivando
:
Integrando
para obter
. Sabemos que, para constante
,
Aqui
, logo
Passo 5
Aplicar a fórmula da integração por partes (no caso definido):
Agora vamos avaliar termo a termo.
Passo 6
Avaliar o termo de borda
.
Em
:
portanto o termo é
Em
:
Logo o termo de borda total é
.
Passo 7
Calcular a integral restante
Usamos a antiderivada da função seno com constante: para
,
Aplicando no intervalo:
Calculando os cossenos:
e
. Então
Multiplicando pelo fator
que estava fora,
Passo 8
Agora juntamos tudo conforme a igualdade do Passo 5:
Fazer uma simplificação algébrica para escrever numa forma única. Colocando em denominador comum
:
Subtraindo,
Portanto a integral avaliada é
.