Calcule a integral:
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega)\left[\frac{j \varphi+2}{\varphi^{2}+9}\right] \cos (\sqrt{3} \omega) d \omega

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega)\left[\frac{j \varphi+2}{\varphi^{2}+9}\right] \cos (\sqrt{3} \omega)\, d \omega.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável de integração é \omega, com limites de -\infty a +\infty.
  • Aparece a função delta de Dirac \delta(\omega).
  • O fator \dfrac{j \varphi+2}{\varphi^{2}+9} depende de \varphi, não de \omega. Portanto \varphi deve ser tratado aqui como um parâmetro (constante em relação a \omega).
  • j é a unidade imaginária (mesma coisa que i na notação usual): j^2=-1.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico (ou em função de \varphi) dessa integral?

Passo 2

Relembrando a propriedade fundamental da delta de Dirac (propriedade de “peneira” ou sifting):
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega)\,f(\omega)\,d\omega = f(0),
desde que f seja uma função razoável (por exemplo contínua) em \omega=0. Intuição rápida: \delta(\omega) é nula em todo lugar exceto concentrada em \omega=0, então a integral “pega” o valor de f em 0.

Passo 3

Identificamos a função f(\omega) multiplicada por \delta(\omega) no integrando:
f(\omega)=\left[\frac{j \varphi+2}{\varphi^{2}+9}\right]\cos(\sqrt{3}\,\omega).
Note que o multiplicador \dfrac{j \varphi+2}{\varphi^{2}+9} é constante em \omega (depende só de \varphi). Assim, aplicando a propriedade da delta:
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega)\,f(\omega)\,d\omega = f(0).

Passo 4

Calcule f(0). Substituindo \omega=0 em f(\omega):
f(0)=\left[\frac{j \varphi+2}{\varphi^{2}+9}\right]\cos(\sqrt{3}\cdot 0).
Sabendo que \cos(0)=1, obtemos
f(0)=\frac{j \varphi+2}{\varphi^{2}+9}.

Passo 5

Conclusão final: pela propriedade da delta e pelo cálculo de f(0), a integral vale exatamente o valor encontrado em \omega=0.

Resposta

\displaystyle \frac{j \varphi+2}{\varphi^{2}+9}

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