Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável de integração é
, com limites de a . - Aparece a função delta de Dirac
. - O fator
depende de , não de . Portanto deve ser tratado aqui como um parâmetro (constante em relação a ). -
é a unidade imaginária (mesma coisa que na notação usual): . - A pergunta é: qual é o valor numérico (ou em função de
) dessa integral?
Passo 2
Relembrando a propriedade fundamental da delta de Dirac (propriedade de “peneira” ou sifting):
desde que
seja uma função razoável (por exemplo contínua) em
. Intuição rápida:
é nula em todo lugar exceto concentrada em
, então a integral “pega” o valor de
em
.
Passo 3
Identificamos a função
multiplicada por
no integrando:
Note que o multiplicador
é constante em
(depende só de
). Assim, aplicando a propriedade da delta:
Passo 4
Calcule
. Substituindo
em
:
Sabendo que
, obtemos
Passo 5
Conclusão final: pela propriedade da delta e pelo cálculo de
, a integral vale exatamente o valor encontrado em
.