Expanda as seguintes funções racionais em frações parciais:
\quad F_{2}(x)=\frac{8 x+10}{(x+1)(x+2)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
F_{2}(x)=\frac{8x+10}{(x+1)(x+2)^{2}}
O que se pede: expandir F_{2}(x) em frações parciais, isto é escrever F_{2}(x) como soma de termos simples do tipo constante sobre fator linear ou potência de fator linear.
Informações relevantes:
  • O numerador é 8x+10.
  • O denominador é (x+1)(x+2)^{2}, que tem um fator linear simples (x+1) e um fator linear repetido (x+2)^{2}.
  • Como grau do numerador (1) é menor que grau do denominador (3), não é preciso fazer divisão polinomial antes de decompor.

Passo 2

Forma geral da decomposição para esse tipo de denominador:
  • Para um fator linear simples (x+1) aparece um termo \dfrac{A}{x+1}.
  • Para um fator linear repetido (x+2)^{2} aparecem termos para cada potência até a multiplicidade: \dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{(x+2)^{2}}.
Portanto assumimos que existe uma identidade
\frac{8x+10}{(x+1)(x+2)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^{2}}.

Passo 3

Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2)^{2}. Assim obtemos a igualdade polinomial
8x+10 = A(x+2)^{2} + B(x+1)(x+2) + C(x+1).

Passo 4

Expandir os termos do lado direito para agrupar potências de x.
Calcular cada parte:
A(x+2)^{2}=A(x^{2}+4x+4)=A x^{2}+4A x+4A,
B(x+1)(x+2)=B(x^{2}+3x+2)=B x^{2}+3B x+2B,
C(x+1)=C x + C.
Somando:
A x^{2}+4A x+4A + B x^{2}+3B x+2B + C x + C.
Agrupando coeficientes por potências de x:
(A+B)x^{2} + (4A+3B+C)x + (4A+2B+C).
Como isso deve ser igual a 8x+10, que é 0\cdot x^{2} + 8x + 10, obtemos o sistema linear pelos coeficientes:
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] 4A+3B+C = 8,\\[4pt] 4A+2B+C = 10. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
A+B=0 \quad\Rightarrow\quad A=-B.
Subtrair a segunda da terceira equação para eliminar C:
(4A+3B+C)-(4A+2B+C)=8-10 \quad\Rightarrow\quad B=-2.
Então
A=-B = -(-2) = 2.
Agora usar uma das equações que contém C, por exemplo 4A+2B+C=10:
4\cdot 2 + 2\cdot(-2) + C = 10 \quad\Rightarrow\quad 8-4 + C = 10 \quad\Rightarrow\quad C = 6.
Assim os coeficientes são A=2, B=-2, C=6.

Passo 6

Escrever a decomposição final substituindo A,B,C na forma parcial:
\frac{8x+10}{(x+1)(x+2)^{2}}=\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x+2}+\frac{6}{(x+2)^{2}}.
Dica rápida de checagem (útil na prova): pode-se verificar plugando valores convenientes para x, por exemplo x=-1 e x=-2, ou recombinando os termos e comparando coeficientes (como foi feito).

Resposta

\displaystyle \frac{8x+10}{(x+1)(x+2)^{2}}=\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x+2}+\frac{6}{(x+2)^{2}}

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