Expanda as seguintes funções racionais em frações parciais: \quad F_{2}(x)=\frac{8 x+10}{(x+1)(x+2)^{2}}
Passo 1
O enunciado dá a função racional
F_{2}(x)=\frac{8x+10}{(x+1)(x+2)^{2}}
O que se pede: expandir F_{2}(x) em frações parciais, isto é escrever F_{2}(x) como soma de termos simples do tipo constante sobre fator linear ou potência de fator linear.
Informações relevantes:
O numerador é 8x+10.
O denominador é (x+1)(x+2)^{2}, que tem um fator linear simples (x+1) e um fator linear repetido (x+2)^{2}.
Como grau do numerador (1) é menor que grau do denominador (3), não é preciso fazer divisão polinomial antes de decompor.
Passo 2
Forma geral da decomposição para esse tipo de denominador:
Para um fator linear simples (x+1) aparece um termo \dfrac{A}{x+1}.
Para um fator linear repetido (x+2)^{2} aparecem termos para cada potência até a multiplicidade: \dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{(x+2)^{2}}.
Dica rápida de checagem (útil na prova): pode-se verificar plugando valores convenientes para x, por exemplo x=-1 e x=-2, ou recombinando os termos e comparando coeficientes (como foi feito).