Expanda as seguintes funções racionais em frações parciais:
\quad F_{1}(x)=\frac{7 x-6}{x^{2}-x-6}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: expandir a função racional em frações parciais.
  • Dado: a função
F_{1}(x)=\frac{7x-6}{x^{2}-x-6}.
Nada mais foi dado. O objetivo é escrever F_{1}(x) como soma de frações simples cujo denominador são fatores lineares do polinómio do denominador.

Passo 2

Fatorar o denominador para ver com que tipo de frações parciais vamos trabalhar.
Devemos fatorar x^{2}-x-6. Procuramos dois números cujo produto seja -6 e cuja soma seja -1. Esses números são -3 e 2. Logo,
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).

Passo 3

Decidir a forma da decomposição em frações parciais.
  • O denominador fatorou em dois fatores lineares distintos (x-3) e (x+2).
  • O numerador tem grau menor que o denominador (grau 1 contra grau 2), então NÃO é preciso fazer divisão de polinómios.
    Portanto a forma geral da decomposição é
\frac{7x-6}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Eliminar os denominadores para obter uma identidade polinomial.
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+2) obtemos
7x-6 = A(x+2)+B(x-3).
Isto é uma identidade válida para todo x (exceto x=3,-2, mas a identidade polinomial vale como igualdade de polinómios).

Passo 5

Expandir o lado direito e igualar coeficientes.
Expandindo:
A(x+2)+B(x-3) = (A+B)x + (2A-3B).
Comparando com o lado esquerdo 7x-6, igualamos coeficientes dos termos em x e dos termos constantes:
\begin{cases} A+B=7,\\[4pt] 2A-3B=-6. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema linear para encontrar A e B.
Da primeira equação A=7-B. Substituindo na segunda:
2(7-B)-3B=-6.
Calcular passo a passo:
14-2B-3B=-6 \quad\Rightarrow\quad 14-5B=-6.
Isolando B:
-5B=-6-14=-20 \quad\Rightarrow\quad B=4.
Então
A=7-B=7-4=3.

Passo 7

Verificação rápida (checar com um valor simples de x):
Tome x=0. À esquerda 7\cdot0-6=-6. À direita A(0+2)+B(0-3)=2A-3B=2\cdot3-3\cdot4=6-12=-6. Está consistente.

Resposta

\frac{7x-6}{x^{2}-x-6}=\frac{3}{x-3}+\frac{4}{x+2}.

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