Expanda as seguintes funções racionais em frações parciais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: expandir a função racional em frações parciais.
- Dado: a função
Nada mais foi dado. O objetivo é escrever
como soma de frações simples cujo denominador são fatores lineares do polinómio do denominador.
Passo 2
Fatorar o denominador para ver com que tipo de frações parciais vamos trabalhar.
Devemos fatorar . Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Logo,
Devemos fatorar
Passo 3
Decidir a forma da decomposição em frações parciais.
- O denominador fatorou em dois fatores lineares distintos
e . - O numerador tem grau menor que o denominador (grau
contra grau ), então NÃO é preciso fazer divisão de polinómios.
Portanto a forma geral da decomposição é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Eliminar os denominadores para obter uma identidade polinomial.
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Multiplicando ambos os lados por
Isto é uma identidade válida para todo
(exceto
, mas a identidade polinomial vale como igualdade de polinómios).
Passo 5
Expandir o lado direito e igualar coeficientes.
Expandindo:
Expandindo:
Comparando com o lado esquerdo
, igualamos coeficientes dos termos em
e dos termos constantes:
Passo 6
Resolver o sistema linear para encontrar
e
.
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
Da primeira equação
Calcular passo a passo:
Isolando
:
Então
Passo 7
Verificação rápida (checar com um valor simples de
):
Tome . À esquerda
. À direita
. Está consistente.
Tome