Calcule a integral.
\int_{1}^{9}\left(t^{1 / 2} i+t^{-1 / 2} j\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do campo vetorial \mathbf{F}(t)=t^{1/2}\,\mathbf{i}+t^{-1/2}\,\mathbf{j}
no intervalo de t=1 até t=9. O conteúdo aqui é integração de funções vetoriais, que se faz componente a componente.

Passo 2

Escrevemos a integral vetorial como a soma de duas integrais escalares, uma para cada componente:
\int_{1}^{9}\bigl(t^{1/2}\,\mathbf{i}+t^{-1/2}\,\mathbf{j}\bigr)\,dt =\left(\int_{1}^{9}t^{1/2}\,dt\right)\mathbf{i} +\left(\int_{1}^{9}t^{-1/2}\,dt\right)\mathbf{j}.

Passo 3

Para a componente em \mathbf{i}, temos a antiderivada de t^{1/2}:
\int t^{1/2}\,dt = \frac{2}{3}\,t^{3/2}.
Avaliando de 1 a 9:
\left[\frac{2}{3}t^{3/2}\right]_{1}^{9} = \frac{2}{3}\bigl(9^{3/2}-1^{3/2}\bigr) = \frac{2}{3}(27-1) = \frac{52}{3}.

Passo 4

Para a componente em \mathbf{j}, a antiderivada de t^{-1/2} é
\int t^{-1/2}\,dt = 2\,t^{1/2}.
Avaliando de 1 a 9:
\left[2\,t^{1/2}\right]_{1}^{9} = 2\bigl(3-1\bigr) = 4.

Passo 5

Somando as componentes obtidas, a integral vetorial vale
\frac{52}{3}\,\mathbf{i} \;+\; 4\,\mathbf{j}.

Resposta

\frac{52}{3}\,\mathbf{i} + 4\,\mathbf{j}

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