Calcule o limite.
\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(\frac{t^{2}+1}{3 t^{2}+2}, \frac{1}{t}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t\to+\infty do vetor \bigl(x(t),y(t)\bigr) onde
x(t)=\frac{t^{2}+1}{3t^{2}+2}
e
y(t)=\frac{1}{t}.
O conteúdo é cálculo de limites de funções reais em +\infty, que podemos fazer componente a componente.

Passo 2

Para \displaystyle x(t)=\frac{t^{2}+1}{3t^{2}+2} dividimos numerador e denominador por t^{2}:
\frac{t^{2}+1}{3t^{2}+2} =\frac{1+\tfrac{1}{t^{2}}}{3+\tfrac{2}{t^{2}}}.
Quando t\to+\infty, os termos \tfrac{1}{t^{2}} e \tfrac{2}{t^{2}} vão a zero, logo
\lim_{t\to+\infty}x(t) =\frac{1+0}{3+0} =\frac{1}{3}.

Passo 3

Para \displaystyle y(t)=\frac{1}{t}, fica imediato que
\lim_{t\to+\infty}y(t)=0.

Resposta

\lim_{t\to+\infty}\bigl(x(t),y(t)\bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{3},0\Bigr).

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