Calcule a integral.
\int_{0}^{1}\left(3-x^{4}\right)^{3} x^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}(3 - x^{4})^{3}\,x^{3}\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição, pois dentro do integrando há uma função composta cujo “quase” derivado aparece multiplicando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3 - x^{4},
portanto
du = -4\,x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = -\tfrac{1}{4}\,du.

Passo 3

Alteramos os limites de integração:
quando x=0, u=3;
quando x=1, u=3-1^{4}=2.
Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{1}(3 - x^{4})^{3}x^{3}\,dx = \int_{u=3}^{2}u^{3}\bigl(-\tfrac{1}{4}\,du\bigr) = -\tfrac{1}{4}\int_{3}^{2}u^{3}\,du = \tfrac{1}{4}\int_{2}^{3}u^{3}\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva de u^{3}:
\int u^{3}\,du = \tfrac{u^{4}}{4}.
Logo,
\tfrac{1}{4}\int_{2}^{3}u^{3}\,du = \tfrac{1}{4}\Bigl[\tfrac{u^{4}}{4}\Bigr]_{2}^{3} = \tfrac{1}{16}\bigl(3^{4}-2^{4}\bigr) = \tfrac{1}{16}(81-16) = \tfrac{65}{16}.

Resposta

\tfrac{65}{16}

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