Calcule a integral.
\int_{1}^{2}\left(4 x^{-5}-5 x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2}\bigl(4x^{-5}-5x^{4}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a aplicação da regra de integração de potências, isto é,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad (n\neq -1).

Passo 2

Vamos encontrar uma primitiva F(x) de 4x^{-5}-5x^{4} term a term.
Para 4x^{-5}:
\int 4x^{-5}\,dx = 4\int x^{-5}\,dx = 4\cdot\frac{x^{-5+1}}{-5+1} = 4\cdot\frac{x^{-4}}{-4} = -x^{-4}.
Para -5x^{4}:
\int -5x^{4}\,dx = -5\int x^{4}\,dx = -5\cdot\frac{x^{5}}{5} = -x^{5}.
Logo,
F(x) = -x^{-4}-x^{5}.

Passo 3

Agora avaliamos F nos limites 1 e 2:
F(2) = -2^{-4} - 2^{5} = -\frac{1}{16} - 32 = -\frac{513}{16},
F(1) = -1^{-4} - 1^{5} = -1 - 1 = -2.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{1}^{2}\bigl(4x^{-5}-5x^{4}\bigr)\,dx = F(2) - F(1) = -\frac{513}{16} - (-2) = -\frac{513}{16} + \frac{32}{16} = -\frac{481}{16}.

Resposta

-\frac{481}{16}.

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