Calcule a integral.
\int \ln \left(1+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx.
O método a usar é integração por partes, além de conhecimentos sobre as integrais básicas
\int 1\,dx e \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos
u = \ln\bigl(1+x^{2}\bigr), \quad dv = dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}\Bigl[\ln(1+x^{2})\Bigr]\,dx = \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx,
v = \int dv = \int dx = x.
Então
\int \ln(1+x^{2})\,dx = x\,\ln(1+x^{2}) \;-\;\int x\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

No integral residual, reescrevemos
\frac{x\cdot2x}{1+x^{2}} =2\,\frac{x^{2}}{1+x^{2}} =2\Bigl(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\Bigr).
Logo
\int 2\Bigl(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\Bigr)\,dx =2\int 1\,dx \;-\;2\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx =2x - 2\arctan(x).

Passo 5

Substituindo de volta na expressão por partes, obtemos
\int \ln(1+x^{2})\,dx = x\,\ln(1+x^{2}) - \bigl(2x - 2\arctan(x)\bigr) + C = x\,\ln(1+x^{2}) - 2x + 2\arctan(x) + C.

Resposta

\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) \;-\;2x \;+\;2\arctan(x) + C.

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