Calcule a integral:
\int \operatorname{sen}^{2} t \cos ^{4} t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{2} t \cos^{4} t\, dt.
Informações dadas: a integranda é o produto de potências das funções trigonométricas seno e cosseno, exatamente \operatorname{sen}^{2} t multiplicado por \cos^{4} t. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função em t. Não há outras restrições nem valores de t fornecidos.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): quando temos potências pares de seno e cosseno, é muito útil usar fórmulas de redução de potência (identidades que envolvem cosseno de ângulo duplo) para transformar as potências em combinações de cossenos de múltiplos ângulos. Essas expressões resultam em soma de cossenos de múltiplos de t, que são fáceis de integrar termo a termo. Vou usar as identidades
\sin^{2} t=\frac{1-\cos 2t}{2} \qquad\text{e}\qquad \cos^{2} t=\frac{1+\cos 2t}{2},
e depois expandir \cos^{4} t=(\cos^{2} t)^{2} e simplificar.

Passo 3

Aplicando a redução de potência para \sin^{2} t e escrevendo \cos^{4} t em termos de \cos 2t:
Primeiro,
\sin^{2} t=\frac{1-\cos 2t}{2}.
Depois,
\cos^{4} t=(\cos^{2} t)^{2}=\left(\frac{1+\cos 2t}{2}\right)^{2}.
Calculemos \cos^{4} t explicitamente:
\cos^{4} t=\frac{1}{4}\big(1+2\cos 2t+\cos^{2}2t\big).
E como \cos^{2}2t=\dfrac{1+\cos 4t}{2}, temos
\cos^{4} t=\frac{1}{4}\left(1+2\cos 2t+\frac{1+\cos 4t}{2}\right).

Passo 4

Continuando a simplificação de \cos^{4} t: primeiro somamos os termos numéricos
\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{8},
portanto
\cos^{4} t=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2t+\frac{1}{8}\cos 4t.

Passo 5

Multiplicamos \sin^{2} t por \cos^{4} t usando as expressões obtidas:
\sin^{2} t\cos^{4} t=\left(\frac{1-\cos 2t}{2}\right)\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2t+\frac{1}{8}\cos 4t\right).
Faço a multiplicação passo a passo. Primeiro expandindo o produto interno:
(1-\cos 2t)\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2t+\frac{1}{8}\cos 4t\right)
= \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2t+\frac{1}{8}\cos 4t - \left(\frac{3}{8}\cos 2t+\frac{1}{2}\cos^{2}2t+\frac{1}{8}\cos 2t\cos 4t\right).
Agora multiplico por \tfrac{1}{2} (por causa do fator inicial):
\sin^{2} t\cos^{4} t=\frac{1}{2}\Big(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2t+\frac{1}{8}\cos 4t - \frac{3}{8}\cos 2t-\frac{1}{2}\cos^{2}2t-\frac{1}{8}\cos 2t\cos 4t\Big).

Passo 6

Simplifico os coeficientes dentro do parêntese:
Termos constantes: \dfrac{3}{8}.
Termos com \cos 2t: \dfrac{1}{2}\cos 2t-\dfrac{3}{8}\cos 2t=\dfrac{1}{8}\cos 2t.
Logo dentro do parêntese temos
\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\cos 2t+\frac{1}{8}\cos 4t-\frac{1}{2}\cos^{2}2t-\frac{1}{8}\cos 2t\cos 4t.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} resulta
\sin^{2} t\cos^{4} t=\frac{3}{16}+\frac{1}{16}\cos 2t+\frac{1}{16}\cos 4t-\frac{1}{4}\cos^{2}2t-\frac{1}{16}\cos 2t\cos 4t.

Passo 7

Agora aplicamos identidades para eliminar \cos^{2}2t e o produto \cos 2t\cos 4t.
Usamos
\cos^{2}2t=\frac{1+\cos 4t}{2}
e a fórmula de produto para cossenos
\cos A\cos B=\frac{1}{2}\big(\cos(A-B)+\cos(A+B)\big).
No caso A=2t e B=4t, obtemos
\cos 2t\cos 4t=\frac{1}{2}\big(\cos(-2t)+\cos 6t\big)=\frac{1}{2}\big(\cos 2t+\cos 6t\big),
pois \cos(-2t)=\cos 2t.
Substituindo essas identidades em \sin^{2} t\cos^{4} t:
-\frac{1}{4}\cos^{2}2t=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1+\cos 4t}{2}=-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\cos 4t,
-\frac{1}{16}\cos 2t\cos 4t=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2}\big(\cos 2t+\cos 6t\big)=-\frac{1}{32}\cos 2t-\frac{1}{32}\cos 6t.

Passo 8

Somando todos os termos já simplificados:
Constante: \dfrac{3}{16}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{16}-\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{16}.
Coeficiente de \cos 2t: \dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{32}=\dfrac{1}{32}.
Coeficiente de \cos 4t: \dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{16}-\dfrac{2}{16}=-\dfrac{1}{16}.
Coeficiente de \cos 6t: -\dfrac{1}{32}.
Portanto chegamos à forma bem simples
\sin^{2} t\cos^{4} t=\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\cos 2t-\frac{1}{16}\cos 4t-\frac{1}{32}\cos 6t.

Passo 9

Agora integramos termo a termo. Lembrando que \displaystyle\int \cos(k t)\,dt=\frac{1}{k}\sin(k t)+C para k\neq 0.
Integramos cada termo:
\int \frac{1}{16}\,dt=\frac{t}{16},
\int \frac{1}{32}\cos 2t\,dt=\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{2}\sin 2t=\frac{1}{64}\sin 2t,
\int -\frac{1}{16}\cos 4t\,dt=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4}\sin 4t=-\frac{1}{64}\sin 4t,
\int -\frac{1}{32}\cos 6t\,dt=-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{6}\sin 6t=-\frac{1}{192}\sin 6t.
Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

\frac{t}{16}+\frac{\sin 2t}{64}-\frac{\sin 4t}{64}-\frac{\sin 6t}{192}+C

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