Calcule a integral:
\int \frac{(\cos x+\operatorname{sen} x)}{\operatorname{sen} 2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \frac{(\cos x+\operatorname{sen} x)}{\operatorname{sen} 2 x}\,dx.
Informações dadas que vamos usar: o integrando é a função \dfrac{\cos x+\sin x}{\sin 2x} (interpreto \operatorname{sen}x como \sin x) e queremos uma primitiva (ou seja, uma expressão cuja derivada é esse integrando). Não há constantes ou intervalos fornecidos, então procuramos uma antiderivada geral (com a constante de integração).

Passo 2

Primeiro passo prático: usar a identidade trigonométrica básica para \sin 2x. A identidade é
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Substituindo no denominador obtemos
\frac{\cos x+\sin x}{\sin 2x}=\frac{\cos x+\sin x}{2\sin x\cos x}.
Agora é só álgebra de frações para simplificar.

Passo 3

Dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
\frac{\cos x+\sin x}{2\sin x\cos x}=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{\sin x\cos x}+\frac{\sin x}{\sin x\cos x}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}\right).
Introduzimos as funções recíprocas para ficar mais claro:
\frac{1}{\sin x}=\csc x,\qquad \frac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x.
Portanto o integrando vira
\frac{\cos x+\sin x}{\sin 2x}=\frac{1}{2}\bigl(\csc x+\operatorname{sec} x\bigr).

Passo 4

Agora a integral separa-se em duas integrais conhecidas:
\int \frac{\cos x+\sin x}{\sin 2x}\,dx=\frac{1}{2}\int \csc x\,dx+\frac{1}{2}\int \operatorname{sec} x\,dx.
Vou deduzir as fórmulas das primitivas de \csc x e \operatorname{sec} x (trick padrão) para você lembrar como obtê-las na prova.
Para \displaystyle \int \operatorname{sec} x\,dx use a multiplicação por \dfrac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}:
\int \operatorname{sec} x\,dx=\int \frac{\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx =\int \frac{\operatorname{sec}^2 x+\operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx.
Agora faça a substituição u=\operatorname{sec} x+\tan x. Então
du=(\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x)\,dx,
logo a integral fica
\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+C.
Portanto
\int \operatorname{sec} x\,dx=\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+C.

Passo 5

Para \displaystyle \int \csc x\,dx usamos um truque análogo, multiplicando por \dfrac{\csc x-\cot x}{\csc x-\cot x}:
\int \csc x\,dx=\int \frac{\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}\,dx =\int \frac{\csc^2 x-\csc x\cot x}{\csc x-\cot x}\,dx.
Faça a substituição v=\csc x-\cot x. Então
dv=( -\csc x\cot x+\csc^2 x)\,dx=\bigl(\csc^2 x-\csc x\cot x\bigr)\,dx,
e novamente a integral vira
\int \frac{dv}{v}=\ln|v|+C=\ln|\csc x-\cot x|+C.
Um fato útil (para simplificar depois) é a identidade
\csc x-\cot x=\tan\frac{x}{2},
que pode ser verificada usando fórmulas de meia-ângulo. Assim alternativas equivalentes são
\int \csc x\,dx=\ln\left|\csc x-\cot x\right|+C=\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C.

Passo 6

Voltando à nossa integral original e somando as primitivas obtidas:
\int \frac{\cos x+\sin x}{\sin 2x}\,dx =\frac{1}{2}\ln\left|\csc x-\cot x\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\operatorname{sec} x+\tan x\right|+C.
Usando a igualdade \csc x-\cot x=\tan\frac{x}{2} dá uma forma alternativa conveniente:
\int \frac{\cos x+\sin x}{\sin 2x}\,dx =\frac{1}{2}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\operatorname{sec} x+\tan x\right|+C.
Também podemos combinar os logaritmos em um só:
\frac{1}{2}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\,(\operatorname{sec} x+\tan x)\right|+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\operatorname{sec} x+\tan x\right|+C

Exercícios relacionados