Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a integranda é o produto de potências das funções trigonométricas seno e cosseno, exatamente
multiplicado por
. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função em
. Não há outras restrições nem valores de
fornecidos.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): quando temos potências pares de seno e cosseno, é muito útil usar fórmulas de redução de potência (identidades que envolvem cosseno de ângulo duplo) para transformar as potências em combinações de cossenos de múltiplos ângulos. Essas expressões resultam em soma de cossenos de múltiplos de
, que são fáceis de integrar termo a termo. Vou usar as identidades
e depois expandir
e simplificar.
Passo 3
Aplicando a redução de potência para
e escrevendo
em termos de
:
Primeiro,
Depois,
Calculemos
explicitamente:
E como
, temos
Passo 4
Continuando a simplificação de
: primeiro somamos os termos numéricos
portanto
Passo 5
Multiplicamos
por
usando as expressões obtidas:
Faço a multiplicação passo a passo. Primeiro expandindo o produto interno:
Agora multiplico por
(por causa do fator inicial):
Passo 6
Simplifico os coeficientes dentro do parêntese:
Termos constantes:
.
Termos com
:
.
Logo dentro do parêntese temos
Multiplicando por
resulta
Passo 7
Agora aplicamos identidades para eliminar
e o produto
.
Usamos
e a fórmula de produto para cossenos
No caso
e
, obtemos
pois
.
Substituindo essas identidades em
:
Passo 8
Somando todos os termos já simplificados:
Constante:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto chegamos à forma bem simples
Passo 9
Agora integramos termo a termo. Lembrando que
para
.
Integramos cada termo:
Somando tudo e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva.