Calcule a integral.
\int_{0}^{1} e^{2} \operatorname{sen}(t-s) d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} e^{2}\,\sin(t - s)\,ds.
Aqui o conteúdo é integração de uma função em s que envolve \sin(t - s). Note que e^{2} e t são constantes relativas à variável de integração s. Vamos, então, fatorar e^{2} e usar uma substituição para simplificar.

Passo 2

Fatorando e^{2}, temos
\int_{0}^{1} e^{2}\,\sin(t - s)\,ds = e^{2}\,\int_{0}^{1}\sin(t - s)\,ds.
Agora faça a substituição
u = t - s, \quad du = -\,ds.
Quando s=0, u=t.
Quando s=1, u=t-1.
Assim,
\int_{0}^{1}\sin(t - s)\,ds = -\int_{u=t}^{\,u=t-1}\sin(u)\,du = \int_{u=t-1}^{\,u=t}\sin(u)\,du.

Passo 3

Calcule agora
\int_{t-1}^{\,t}\sin(u)\,du.
A antiderivada de \sin(u) é -\cos(u). Logo,
\int_{t-1}^{\,t}\sin(u)\,du =\bigl[-\cos(u)\bigr]_{u=t-1}^{\,u=t} =-\cos(t)-\bigl(-\cos(t-1)\bigr) =\cos(t-1)-\cos(t).

Passo 4

Voltando ao fator e^{2}, concluímos que
\int_{0}^{1} e^{2}\,\sin(t - s)\,ds = e^{2}\,\bigl(\cos(t-1)-\cos(t)\bigr).

Resposta

e^{2}\,\bigl(\cos(t-1)-\cos(t)\bigr).

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