Calcule a integral.
\int t^{4} \ln t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int t^{4}\,\ln t\,dt
O conteúdo aqui é integração por partes, que usamos quando a integral é produto de funções mais simples.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln t
e
dv = t^{4}\,dt.

Passo 3

Calculamos as diferenciais e primitiva:
du = \frac{dt}{t}, \qquad v = \int t^{4}\,dt = \frac{t^{5}}{5}.

Passo 4

Pela fórmula de integração por partes \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int t^{4}\ln t\,dt = \frac{t^{5}}{5}\,\ln t - \int \frac{t^{5}}{5}\,\frac{dt}{t}.

Passo 5

Simplificando a integral que resta:
\int \frac{t^{5}}{5}\,\frac{dt}{t} = \frac{1}{5}\int t^{4}\,dt = \frac{1}{5}\cdot\frac{t^{5}}{5} = \frac{t^{5}}{25}.
Portanto
\int t^{4}\ln t\,dt = \frac{t^{5}}{5}\ln t - \frac{t^{5}}{25} + C.

Resposta

\frac{t^{5}}{5}\ln t \;-\;\frac{t^{5}}{25} \;+\; C.

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