Calcule a integral
\int \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} ^{12} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \tan^{3} x \operatorname{sec}^{12} x\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{integrando}=\tan^{3}x\operatorname{sec}^{12}x,
não há limites (é uma integral indefinida), e as funções trigonométricas presentes são \tan x e \operatorname{sec} x. Vou trabalhar com identidades e substituições adequadas para resolver a integral passo a passo.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil é
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Usando essa identidade podemos separar uma potência de \tan x para tentar formar um fator \operatorname{sec} x\tan x (útil porque é a derivada de \operatorname{sec} x). Reescrevendo o integrando:
\tan^{3}x\operatorname{sec}^{12}x=\tan x\cdot\tan^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{12}x=\tan x(\operatorname{sec}^{2}x-1)\operatorname{sec}^{12}x.

Passo 3

Continuando a simplificação algébrica (fazendo as potências de \operatorname{sec} se somarem):
\tan x(\operatorname{sec}^{2}x-1)\operatorname{sec}^{12}x=\tan x(\operatorname{sec}^{14}x-\operatorname{sec}^{12}x).
Logo a integral fica
\int \tan^{3}x\operatorname{sec}^{12}x\,dx=\int \tan x(\operatorname{sec}^{14}x-\operatorname{sec}^{12}x)\,dx.
A ideia agora é usar a substituição u=\operatorname{sec} x, porque sabemos que a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. Vamos calcular du.

Passo 4

Defina
u=\operatorname{sec} x.
Derivando ambos os lados em relação a x:
du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx.
Dessa igualdade isolamos \tan x\,dx:
\tan x\,dx=\frac{du}{\operatorname{sec} x}=\frac{du}{u}.
Agora substituímos \operatorname{sec} x=u e \tan x\,dx = \dfrac{du}{u} na integral obtida no passo anterior:
\int \tan x(\operatorname{sec}^{14}x-\operatorname{sec}^{12}x)\,dx=\int \left(u^{14}-u^{12}\right)\frac{du}{u}.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral ao dividir por u:
\left(u^{14}-u^{12}\right)\frac{1}{u}=u^{13}-u^{11}.
Portanto a integral em u é
\int (u^{13}-u^{11})\,du.

Passo 6

Aplicamos a regra do poder para primitivar termo a termo. A regra diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando essa regra aos termos u^{13} e u^{11}:
\int u^{13}\,du=\frac{u^{14}}{14},\qquad \int u^{11}\,du=\frac{u^{12}}{12}.
Assim
\int (u^{13}-u^{11})\,du=\frac{u^{14}}{14}-\frac{u^{12}}{12}+C.

Passo 7

Voltando à variável original usando u=\operatorname{sec} x, obtemos a primitiva:
\frac{\operatorname{sec}^{14}x}{14}-\frac{\operatorname{sec}^{12}x}{12}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{\operatorname{sec}^{14}x}{14}-\frac{\operatorname{sec}^{12}x}{12}+C

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