Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
não há limites (é uma integral indefinida), e as funções trigonométricas presentes são
e
. Vou trabalhar com identidades e substituições adequadas para resolver a integral passo a passo.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil é
Usando essa identidade podemos separar uma potência de
para tentar formar um fator
(útil porque é a derivada de
). Reescrevendo o integrando:
Passo 3
Continuando a simplificação algébrica (fazendo as potências de
se somarem):
Logo a integral fica
A ideia agora é usar a substituição
, porque sabemos que a derivada de
é
. Vamos calcular
.
Passo 4
Defina
Derivando ambos os lados em relação a
:
Dessa igualdade isolamos
:
Agora substituímos
e
na integral obtida no passo anterior:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral ao dividir por
:
Portanto a integral em
é
Passo 6
Aplicamos a regra do poder para primitivar termo a termo. A regra diz que, para
,
Aplicando essa regra aos termos
e
:
Assim
Passo 7
Voltando à variável original usando
, obtemos a primitiva: