Determine a equação da reta tangente à curva f(x)=\ln \left(\operatorname{sec} ^{2} x\right) em x=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln\big(\operatorname{sec}^{2}x\big) e pede a equação da reta tangente à curva no ponto em que x=\frac{\pi}{4}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\ln\big(\operatorname{sec}^{2}x\big).
  • O ponto de tangência tem abscissa x_0=\frac{\pi}{4}.
  • O que precisamos encontrar é a reta tangente, ou seja: a inclinação m=f'(x_0) e o valor f(x_0) para montar a equação da reta usando a forma ponto-de-reta.

Passo 2

Calcular o valor de f em x_0=\frac{\pi}{4}.
Primeiro simplifico mentalmente ou explicitamente:
f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ln\big(\operatorname{sec}^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\big).
Agora avalio \operatorname{sec} em \frac{\pi}{4}. Lembre que \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}. Como \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, temos
\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}.
Portanto
\operatorname{sec}^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=(\sqrt{2})^{2}=2,
e assim
f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\ln(2).

Passo 3

Explicar uma forma útil da função para derivar: uso da propriedade dos logaritmos.
Usando \ln(a^{2})=2\ln|a| podemos escrever
f(x)=\ln\big(\operatorname{sec}^{2}x\big)=2\ln\big|\operatorname{sec} x\big|.
Como x=\tfrac{\pi}{4} está no primeiro quadrante, \operatorname{sec} x>0 ali, então podemos desprezar valor absoluto localmente e também é comum usar a forma equivalente
f(x)=2\ln(\operatorname{sec} x).
Outra forma útil é f(x)=-2\ln(\cos x), já que \operatorname{sec} x=1/\cos x. Essas fórmulas ajudam a derivar de maneira mais direta.

Passo 4

Derivar f(x): lembrar das regras que vamos usar.
As regras necessárias:
  • Regra da cadeia: se g(x)=h(u(x)), então g'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
  • Derivada do logaritmo natural: \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Derivada da função \operatorname{sec} x: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x.
    Vou aplicar isso em uma forma conveniente de f. Uso f(x)=2\ln(\operatorname{sec} x).

Passo 5

Aplicando derivadas em f(x)=2\ln(\operatorname{sec} x).
Derivo termo a termo:
f'(x)=2\cdot \frac{d}{dx}\big(\ln(\operatorname{sec} x)\big).
Pela regra do logaritmo:
\frac{d}{dx}\big(\ln(\operatorname{sec} x)\big)=\frac{\operatorname{sec}' x}{\operatorname{sec} x}.
Como \operatorname{sec}' x=\operatorname{sec} x\tan x, obtemos
\frac{\operatorname{sec}' x}{\operatorname{sec} x}=\frac{\operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x}=\tan x.
Logo
f'(x)=2\cdot \tan x.
(Observação alternativa: derivando diretamente \ln(\operatorname{sec}^{2}x) também dá o mesmo resultado porque \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}^{2}x=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x e multiplicando por \dfrac{1}{\operatorname{sec}^{2}x} pelo logaritmo também resulta em 2\tan x.)

Passo 6

Avaliar a derivada no ponto x_0=\frac{\pi}{4}.
Sabemos que \tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=1. Portanto
f'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=2\cdot 1=2.
Então a inclinação da reta tangente é m=2.

Passo 7

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação.
A forma ponto-inclinação é
y - f(x_0) = m\big(x - x_0\big).
Substituo x_0=\tfrac{\pi}{4}, f(x_0)=\ln(2) e m=2:
y - \ln(2) = 2\bigg(x - \tfrac{\pi}{4}\bigg).

Passo 8

Simplificar para uma forma mais explícita (por exemplo, forma y=mx+b).
Distribuindo o lado direito:
y - \ln(2)=2x - 2\cdot \tfrac{\pi}{4}=2x - \tfrac{\pi}{2}.
Somando \ln(2) em ambos os lados:
y = 2x - \tfrac{\pi}{2} + \ln(2).

Resposta

y=2x-\dfrac{\pi}{2}+\ln(2)

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