Determine a equação da reta tangente à curva f(x)=\ln \left(\operatorname{sec} ^{2} x\right) em x=\frac{\pi}{4}
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\ln\big(\operatorname{sec}^{2}x\big) e pede a equação da reta tangente à curva no ponto em que x=\frac{\pi}{4}.
Informações relevantes fornecidas:
A função é f(x)=\ln\big(\operatorname{sec}^{2}x\big).
O ponto de tangência tem abscissa x_0=\frac{\pi}{4}.
O que precisamos encontrar é a reta tangente, ou seja: a inclinação m=f'(x_0) e o valor f(x_0) para montar a equação da reta usando a forma ponto-de-reta.
Passo 2
Calcular o valor de f em x_0=\frac{\pi}{4}.
Primeiro simplifico mentalmente ou explicitamente:
Agora avalio \operatorname{sec} em \frac{\pi}{4}. Lembre que \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}. Como \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, temos
Como x=\tfrac{\pi}{4} está no primeiro quadrante, \operatorname{sec} x>0 ali, então podemos desprezar valor absoluto localmente e também é comum usar a forma equivalente
f(x)=2\ln(\operatorname{sec} x).
Outra forma útil é f(x)=-2\ln(\cos x), já que \operatorname{sec} x=1/\cos x. Essas fórmulas ajudam a derivar de maneira mais direta.
Passo 4
Derivar f(x): lembrar das regras que vamos usar.
As regras necessárias:
Regra da cadeia: se g(x)=h(u(x)), então g'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
Derivada do logaritmo natural: \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
Derivada da função \operatorname{sec} x: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x.
Vou aplicar isso em uma forma conveniente de f. Uso f(x)=2\ln(\operatorname{sec} x).
Passo 5
Aplicando derivadas em f(x)=2\ln(\operatorname{sec} x).
(Observação alternativa: derivando diretamente \ln(\operatorname{sec}^{2}x) também dá o mesmo resultado porque \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}^{2}x=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x e multiplicando por \dfrac{1}{\operatorname{sec}^{2}x} pelo logaritmo também resulta em 2\tan x.)
Passo 6
Avaliar a derivada no ponto x_0=\frac{\pi}{4}.
Sabemos que \tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=1. Portanto
f'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=2\cdot 1=2.
Então a inclinação da reta tangente é m=2.
Passo 7
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação.
A forma ponto-inclinação é
y - f(x_0) = m\big(x - x_0\big).
Substituo x_0=\tfrac{\pi}{4}, f(x_0)=\ln(2) e m=2:
y - \ln(2) = 2\bigg(x - \tfrac{\pi}{4}\bigg).
Passo 8
Simplificar para uma forma mais explícita (por exemplo, forma y=mx+b).
Distribuindo o lado direito:
y - \ln(2)=2x - 2\cdot \tfrac{\pi}{4}=2x - \tfrac{\pi}{2}.