Uma escada de 8 m de comprimento está encostada em uma parede. A base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma velocidade de
. com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada está a 5 m da parede?
Passo 1
O enunciado pede: “com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada está a 5 m da parede?”\n\nInformações dadas pelo enunciado:\n\n- Comprimento da escada:
.\n- A base da escada afasta-se da parede com velocidade
(ou seja, a posição horizontal da base aumenta a
).\n- Queremos a velocidade vertical (taxa de variação da altura do topo) no instante em que a base está a
da parede.\n\nNada mais será assumido além dessas informações.
Passo 2
Definimos variáveis que descrevem o movimento:\n\n- Seja
a distância horizontal da base da escada à parede (em metros).\n- Seja
a altura do topo da escada em relação ao chão (em metros).\n\nPela geometria (teorema de Pitágoras) a escada, a parede e o chão formam um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a escada de comprimento
. Assim temos a relação entre
e
:\n\n
\n\nExplicação rápida do teorema usado: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (aqui
) é igual à soma dos quadrados dos catetos (aqui
e
). Isso vale a qualquer instante
.
Passo 3
Queremos as taxas de variação (
e
). Diferenciamos a relação do Passo 2 em relação ao tempo
. Ao diferenciar cada termo usamos a regra da cadeia (porque
e
dependem de
):\n\n
\n\nDerivando termo a termo:\n\n
\n\nporque a derivada de uma constante é zero. Aqui a regra da cadeia diz que
, pois primeiro derivamos
em relação a
(que dá
) e depois multiplicamos por
.
Passo 4
Isolamos
na equação do Passo 3 para obter a velocidade vertical do topo em função de
,
e
:\n\nComeçamos por reorganizar:\n\n
\n\nDividindo ambos os lados por
(assumindo
, o que é verdade enquanto a escada não estiver totalmente no chão):\n\n
\n\nSignificado: a taxa de descida do topo está relacionada à taxa de afastamento da base multiplicada pela razão
.
Passo 5
Convertendo a velocidade dada para as mesmas unidades que usamos para
e
: a base se afasta a
. Como estamos trabalhando com metros, convertemos para metros por segundo:\n\n
\n\nPortanto
(positivo, porque
está aumentando).
Passo 6
Precisamos do valor de
no instante em que
. Usamos a relação do Passo 2:\n\n
\n\nEntão no instante pedido
. (Se preferir aproximar,
.)
Passo 7
Agora substituímos na fórmula de
do Passo 4:\n\n
\n\nMultiplicando
por
dá
, logo:\n\n
\n\nEsse é o valor exato (em forma irracional). Agora a aproximação numérica usando
:\n\n
\n\nConvertendo para centímetros por segundo (mais intuitivo, pois a velocidade da base estava em cm/s): multiplicamos por
:\n\n
Passo 8
Interpretação do sinal: o sinal negativo em
indica que
está diminuindo — ou seja, o topo da escada está descendo. A magnitude
diz o quão rápido ele desce naquele instante. Isso faz sentido físico: quando a base desliza para fora, o topo desce; a velocidade do topo é menor que a da base aqui porque a razão
é
que é menor que 1.