Uma escada de 8 m de comprimento está encostada em uma parede. A base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma velocidade de 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada está a 5 m da parede?

Passo 1

O enunciado pede: “com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada está a 5 m da parede?”\n\nInformações dadas pelo enunciado:\n\n- Comprimento da escada: 8\\ \mathrm{m}.\n- A base da escada afasta-se da parede com velocidade 2\\ \mathrm{cm/s} (ou seja, a posição horizontal da base aumenta a 2\\ \mathrm{cm/s}).\n- Queremos a velocidade vertical (taxa de variação da altura do topo) no instante em que a base está a 5\\ \mathrm{m} da parede.\n\nNada mais será assumido além dessas informações.

Passo 2

Definimos variáveis que descrevem o movimento:\n\n- Seja x(t) a distância horizontal da base da escada à parede (em metros).\n- Seja y(t) a altura do topo da escada em relação ao chão (em metros).\n\nPela geometria (teorema de Pitágoras) a escada, a parede e o chão formam um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a escada de comprimento 8\\ \mathrm{m}. Assim temos a relação entre x e y:\n\n x(t)^2 + y(t)^2 = 8^2 = 64.\n\nExplicação rápida do teorema usado: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (aqui 8^2) é igual à soma dos quadrados dos catetos (aqui x^2 e y^2). Isso vale a qualquer instante t.

Passo 3

Queremos as taxas de variação ( \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}). Diferenciamos a relação do Passo 2 em relação ao tempo t. Ao diferenciar cada termo usamos a regra da cadeia (porque x e y dependem de t):\n\n \frac{d}{dt}\big(x^2 + y^2\big) = \frac{d}{dt}(64).\n\nDerivando termo a termo:\n\n 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0,\n\nporque a derivada de uma constante é zero. Aqui a regra da cadeia diz que \frac{d}{dt}(x^2) = 2x\frac{dx}{dt}, pois primeiro derivamos x^2 em relação a x (que dá 2x) e depois multiplicamos por \frac{dx}{dt}.

Passo 4

Isolamos \frac{dy}{dt} na equação do Passo 3 para obter a velocidade vertical do topo em função de x, y e \frac{dx}{dt}:\n\nComeçamos por reorganizar:\n\n 2y\frac{dy}{dt} = -\,2x\frac{dx}{dt}.\n\nDividindo ambos os lados por 2y (assumindo y\neq 0, o que é verdade enquanto a escada não estiver totalmente no chão):\n\n \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt}.\n\nSignificado: a taxa de descida do topo está relacionada à taxa de afastamento da base multiplicada pela razão x/y.

Passo 5

Convertendo a velocidade dada para as mesmas unidades que usamos para x e y: a base se afasta a 2\\ \mathrm{cm/s}. Como estamos trabalhando com metros, convertemos para metros por segundo:\n\n 2\\ \mathrm{cm/s} = 0,02\\ \mathrm{m/s}.\n\nPortanto \frac{dx}{dt}=0,02\\ \mathrm{m/s} (positivo, porque x está aumentando).

Passo 6

Precisamos do valor de y no instante em que x=5\\ \mathrm{m}. Usamos a relação do Passo 2:\n\n y = \sqrt{64 - x^2} = \sqrt{64 - 5^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39}.\n\nEntão no instante pedido y=\sqrt{39}\\ \mathrm{m}. (Se preferir aproximar, \sqrt{39}\approx 6,244998\\ \mathrm{m}.)

Passo 7

Agora substituímos na fórmula de \frac{dy}{dt} do Passo 4:\n\n \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt} = -\frac{5}{\sqrt{39}}\cdot 0,02.\n\nMultiplicando 5 por 0,02 0,1, logo:\n\n \frac{dy}{dt} = -\frac{0,1}{\sqrt{39}}\\ \mathrm{m/s}.\n\nEsse é o valor exato (em forma irracional). Agora a aproximação numérica usando \sqrt{39}\approx 6,244998:\n\n \frac{dy}{dt} \approx -\frac{0,1}{6,244998} \approx -0,0160\\ \mathrm{m/s}.\n\nConvertendo para centímetros por segundo (mais intuitivo, pois a velocidade da base estava em cm/s): multiplicamos por 100:\n\n \frac{dy}{dt} \approx -1,60\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 8

Interpretação do sinal: o sinal negativo em \frac{dy}{dt} indica que y está diminuindo — ou seja, o topo da escada está descendo. A magnitude 1,60\\ \mathrm{cm/s} diz o quão rápido ele desce naquele instante. Isso faz sentido físico: quando a base desliza para fora, o topo desce; a velocidade do topo é menor que a da base aqui porque a razão x/y é 5/\sqrt{39} que é menor que 1.

Resposta

-\dfrac{0,1}{\sqrt{39}}\\ \mathrm{m/s}\n -0,0160\\ \mathrm{m/s} (aprox.)\n -1,60\\ \mathrm{cm/s} (aprox.)

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