Calcule a integral.
\int \operatorname{cotg}^{3} 2 x \operatorname{cossec}^{3} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cot^3(2x)\,\csc^3(2x)\,dx.
Estamos em Cálculo de integrais, e vamos usar a substituição
t = \sin(2x),
pois isso transforma fator de \cos(2x)\,dx em dt e simplifica potências de seno no denominador.

Passo 2

Reescrevemos a integranda em termos de seno e cosseno:
\cot^3(2x)\,\csc^3(2x) = \frac{\cos^3(2x)}{\sin^3(2x)}\;\frac{1}{\sin^3(2x)} = \frac{\cos^3(2x)}{\sin^6(2x)}.

Passo 3

Fazemos a substituição
t = \sin(2x), \quad dt = 2\cos(2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos(2x)\,dx = \frac{dt}{2}.
Além disso \cos^3(2x)\,dx = \cos^2(2x)\,\bigl[\cos(2x)\,dx\bigr] e \cos^2(2x)=1-\sin^2(2x)=1-t^2. Logo
\cos^3(2x)\,dx = (1-t^2)\,\frac{dt}{2}.

Passo 4

Substituindo em
\displaystyle \int \frac{\cos^3(2x)}{\sin^6(2x)}\,dx obtemos
\int \frac{(1-t^2)\,\frac{dt}{2}}{t^6} = \frac12 \int \bigl(t^{-6}-t^{-4}\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\frac12\int t^{-6}\,dt = \frac12\cdot\frac{t^{-5}}{-5} = -\frac{1}{10}\,t^{-5}, \quad \frac12\int (-t^{-4})\,dt = -\frac12\cdot\frac{t^{-3}}{-3} = \frac{1}{6}\,t^{-3}.
Somando e incluindo a constante C:
-\frac{1}{10}t^{-5} + \frac{1}{6}t^{-3} + C.

Passo 5

Voltando a x via t=\sin(2x), temos
t^{-3} = \sin^{-3}(2x)=\csc^3(2x), \quad t^{-5}=\csc^5(2x).
Logo a antiderivada é
\frac{1}{6}\csc^3(2x)\;-\;\frac{1}{10}\csc^5(2x) + C.

Resposta

\boxed{\int \cot^3(2x)\,\csc^3(2x)\,dx = \frac{1}{6}\,\csc^3(2x)\;-\;\frac{1}{10}\,\csc^5(2x)+C.}

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