CALCULE A INTEGRAL
\int_{0}^{3 \pi}[3 \cos (x)+\operatorname{sen}(2 x)] d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{0}^{3\pi} \bigl(3\cos(x)+\operatorname{sen}(2x)\bigr)\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=3\pi.
  • A integranda é a soma de duas funções: 3\cos(x) e \operatorname{sen}(2x). (Aqui \operatorname{sen} é a notação em português para \sin.)
    O que nos pedem: calcular o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Linearidade da integral: para funções f e g e constante a,
\int (a f + g)= a\int f + \int g.
Isto permite separar a integral em duas mais simples.
  • Integral da função cosseno: uma primitiva de \cos(x) é \sin(x), ou seja,
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)\quad\Rightarrow\quad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.
  • Integral de \sin(kx) com k constante: usar substituição linear. Se u=kx, então du=k\,dx e dx=\dfrac{du}{k}. Assim
\int \sin(kx)\,dx = \int \sin(u)\frac{du}{k} = -\frac{1}{k}\cos(u)+C = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C.
No nosso caso k=2, então \int \sin(2x)\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos(2x)+C.
  • Para integral definida, avaliamos a primitiva nos limites e subtraímos: se F é primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).

Passo 3

Aplicando linearidade para separar a integral:
\int_{0}^{3\pi} \bigl(3\cos(x)+\operatorname{sen}(2x)\bigr)\,dx = 3\int_{0}^{3\pi}\cos(x)\,dx + \int_{0}^{3\pi}\operatorname{sen}(2x)\,dx.

Passo 4

Encontrar primitivas de cada termo:
  • Para \cos(x): uma primitiva é \sin(x). Então 3\int \cos(x)\,dx = 3\sin(x)+C.
  • Para \operatorname{sen}(2x) (ou \sin(2x)): pela substituição com k=2,
\int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)+C.
Logo uma primitiva comum para a integranda é
F(x)=3\sin(x)-\frac{1}{2}\cos(2x).

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da integral definida: avaliar F em x=3\pi e em x=0 e calcular F(3\pi)-F(0).
Primeiro calculamos os valores trigonométricos que vão aparecer:
  • \sin(3\pi)=0 e \sin(0)=0.
  • \cos(2\cdot 3\pi)=\cos(6\pi)=1 e \cos(0)=1.

Passo 6

Substituindo em F:
F(3\pi)=3\sin(3\pi)-\tfrac{1}{2}\cos(6\pi)=3\cdot 0 - \tfrac{1}{2}\cdot 1 = -\tfrac{1}{2},
F(0)=3\sin(0)-\tfrac{1}{2}\cos(0)=3\cdot 0 - \tfrac{1}{2}\cdot 1 = -\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Calculando a diferença F(3\pi)-F(0):
F(3\pi)-F(0) = -\tfrac{1}{2} - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 0.

Resposta

0

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