Calcule a integral.
\int_{\pi / 2}^{\pi} \cos \left(\frac{1}{3} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\bigl(\tfrac{1}{3}x\bigr)\,dx
que é um caso típico de função composta. Vamos usar a técnica de substituição para resolver.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = \tfrac{1}{3}x,
então
du = \tfrac{1}{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = 3\,du.
Agora ajustamos os limites: quando x=\tfrac{\pi}{2}, vem u=\tfrac{\pi}{6}; quando x=\pi, vem u=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\bigl(\tfrac{1}{3}x\bigr)\,dx =3\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos(u)\,du.

Passo 4

Agora basta integrar \cos(u):
3\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos(u)\,du =3\bigl[\sin(u)\bigr]_{\pi/6}^{\pi/3} =3\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{3})-\sin(\tfrac{\pi}{6})\bigr).
Como \sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{1}{2}, fica
3\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}\Bigr) =\frac{3\sqrt{3}-3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{3}-3}{2}

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