Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 2} 3 \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2}3\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é o cálculo de integral de função trigonométrica, para o qual precisamos encontrar a primitiva de \operatorname{sen}(\tfrac{x}{2}) e depois avaliar nos limites de 0 a \tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Vamos determinar a primitiva de \operatorname{sen}(\tfrac{x}{2}). Sabemos que, de forma geral,
\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax).
Aqui a=\tfrac12, logo
\int \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx =-\frac{1}{\tfrac12}\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) =-2\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Multiplicando por 3, a primitiva de 3\,\operatorname{sen}(\tfrac{x}{2}) é
-6\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos nos limites de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\pi/2}3\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx =\Bigl[-6\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr]_{0}^{\pi/2} =-6\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)-\cos(0)\Bigr).
Como \cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos(0)=1, temos
-6\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-1\Bigr) =-6\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}+6 =6-3\sqrt{2}.

Resposta

6-3\sqrt{2}

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