Calcule a integral definida.
\int_{0}^{2}(2 x-3)\left(4 x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{2}(2x-3)(4x^2+1)\,dx.
O conteúdo é integração de polinômio: vamos expandir o integrando para obter um polinômio e depois aplicar a regra de potência termo a termo.

Passo 2

Expandir o produto (2x-3)(4x^2+1):
(2x-3)(4x^2+1)=8x^3-12x^2+2x-3.

Passo 3

Determinar uma primitiva F(x) de 8x^3-12x^2+2x-3 usando
\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}:
F(x)=\int(8x^3-12x^2+2x-3)\,dx =2x^4-4x^3+x^2-3x.

Passo 4

Usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar de 0 a 2:
\int_{0}^{2}(2x-3)(4x^2+1)\,dx =F(2)-F(0) =[2\cdot2^4-4\cdot2^3+2^2-3\cdot2]-0 =32-32+4-6 =-2.

Resposta

-2

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