Determine o volume e o centro de massa do solido homogêneo que está acima do cone
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que ele nos dá. Perguntas do enunciado:
- Determinar o volume do sólido homogêneo que está acima do cone
e abaixo da esfera de raio . - Determinar o centro de massa desse sólido (densidade homogênea).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A superfície superior é a esfera de raio
, isto é, a esfera centrada na origem com equação . - A superfície inferior é o cone com equação
. Note que é o rádio cilíndrico , então o cone é . - O sólido é a porção do interior da esfera que está “acima” do cone, isto é, os pontos do interior da esfera que satisfazem
. - O sólido é simétrico em torno do eixo
, então esperamos que as coordenadas e do centro de massa sejam . Só precisamos calcular a coordenada do centro de massa.
Passo 2
Escolha de coordenadas e descrição do domínio (aula rápida sobre coordenadas esféricas):
- Em coordenadas esféricas usamos três variáveis
com
o ângulo medido a partir do eixo
positivo ( ), e o ângulo azimutal no plano ( ). - O elemento de volume em esféricas é
. Aqui é o determinante jacobiano da transformação — pense nisso como o “fator de distorção” entre as coordenadas esféricas e o volume cartesiano. - Relação entre o cone e
: o cone em esféricas é Como o sólido está “acima do cone” (isto é, ), queremos , portanto varia de até . - A esfera limite é
. Logo, na região: , , .]
Passo 3
Cálculo do volume (passo a passo com a integral tripla):
- O volume é
- Integramos por
primeiro: - A integral separa-se então:
- Calculamos cada fator:
- Portanto
Passo 4
Simetria e redução do problema do centro de massa:
- Por simetria em torno do eixo
, as coordenadas e do centro de massa são . Explico: para cada ponto na região existe um ponto com mesma densidade; assim as componentes horizontais se cancelam. - Logo só precisamos calcular a componente
do centro de massa, dada por
Passo 5
Cálculo do momento
e da coordenada
(conta detalhada):
- Em esféricas
, então - Integramos por
: - Fatorando:
- Calculamos a integral em
. Note que ou use substituição direta: (ou, mais direto, , e avaliando dá .) - Então
- Finalmente, a coordenada
do centro de massa é Simplificando passo a passo: Note que , logo Assim Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por ): Podemos também escrever