Determine o volume e o centro de massa do solido homogêneo que está acima do cone
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad \text { e abaixo da esfera de raio } 1 . \quad\left(\quad V=\frac{2 \pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) m^{3},\left(0,0 \frac{3}{8}(2-\sqrt{2})\right) m\right)

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que ele nos dá. Perguntas do enunciado:
  1. Determinar o volume do sólido homogêneo que está acima do cone \displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e abaixo da esfera de raio 1.
  2. Determinar o centro de massa desse sólido (densidade homogênea).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A superfície superior é a esfera de raio 1, isto é, a esfera centrada na origem com equação \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
  • A superfície inferior é o cone com equação \displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Note que \sqrt{x^{2}+y^{2}} é o rádio cilíndrico r, então o cone é z=r.
  • O sólido é a porção do interior da esfera que está “acima” do cone, isto é, os pontos do interior da esfera que satisfazem z\ge r.
  • O sólido é simétrico em torno do eixo z, então esperamos que as coordenadas x e y do centro de massa sejam 0. Só precisamos calcular a coordenada z do centro de massa.

Passo 2

Escolha de coordenadas e descrição do domínio (aula rápida sobre coordenadas esféricas):
  • Em coordenadas esféricas usamos três variáveis \rho,\varphi,\theta\) definidas por: \[\begin{cases} x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\\[4pt] y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\\[4pt] z = \rho\cos\varphi, \end{cases}com \rho\ge0\], \(\varphi o ângulo medido a partir do eixo z positivo ( 0\le\varphi\le\pi), e \theta o ângulo azimutal no plano xy ( 0\le\theta<2\pi).
  • O elemento de volume em esféricas é \displaystyle dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Aqui \rho^{2}\sin\varphi é o determinante jacobiano da transformação — pense nisso como o “fator de distorção” entre as coordenadas esféricas e o volume cartesiano.
  • Relação entre o cone e \varphi: o cone z=r em esféricas é \rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi \quad\Rightarrow\quad \tan\varphi = 1 \quad\Rightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.Como o sólido está “acima do cone” (isto é, z\ge r), queremos \cos\varphi\ge\sin\varphi, portanto \varphi varia de 0 até \pi/4.
  • A esfera limite é \rho=1. Logo, na região: 0\le\theta\le2\pi, 0\le\varphi\le\pi/4, 0\le\rho\le1.]

Passo 3

Cálculo do volume (passo a passo com a integral tripla):
  • O volume é V=\iiint_{\text{região}} dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.ã
  • Integramos por \rho primeiro: \int_{0}^{1}\rho^{2}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
  • A integral separa-se então: V = \left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\frac{1}{3}\right).
  • Calculamos cada fator: \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi/4}=1-\cos\frac{\pi}{4}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Portanto V = 2\pi\cdot\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{1}{3}=\frac{2\pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 4

Simetria e redução do problema do centro de massa:
  • Por simetria em torno do eixo z, as coordenadas x e y do centro de massa são 0. Explico: para cada ponto (x,y,z) na região existe um ponto (-x,-y,z) com mesma densidade; assim as componentes horizontais se cancelam.
  • Logo só precisamos calcular a componente z do centro de massa, dada por \bar z = \frac{1}{V}\iiint_{\text{região}} z\,dV.ã

Passo 5

Cálculo do momento \displaystyle \iiint z\,dV e da coordenada \bar z (conta detalhada):
  • Em esféricas z=\rho\cos\varphi, então \iiint z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} (\rho\cos\varphi)\cdot(\rho^{2}\sin\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Integramos por \rho: \int_{0}^{1}\rho^{3}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
  • Fatorando: \iiint z\,dV = \left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\frac{1}{4}\right)\left(\int_{0}^{\pi/4}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\right).
  • Calculamos a integral em \varphi. Note que \cos\varphi\sin\varphi = \tfrac{1}{2}\sin^{2}\varphi' ou use substituição direta: \int_{0}^{\pi/4}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\sin(2\varphi)\,d\varphi = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2\varphi)\right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{4}\bigl(1-\cos\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\frac{1}{4}.(ou, mais direto, \int\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\tfrac{1}{2}\sin^{2}\varphi, e avaliando dá \tfrac{1}{4}.)
  • Então \iiint z\,dV = (2\pi)\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{8}.
  • Finalmente, a coordenada z do centro de massa é \bar z = \frac{\displaystyle \iiint z\,dV}{V}=\frac{\dfrac{\pi}{8}}{\dfrac{2\pi}{3}\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}.Simplificando passo a passo: \bar z = \frac{\pi}{8}\cdot\frac{3}{2\pi}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} =\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}.Note que 1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}, logo \frac{1}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{2-\sqrt{2}}.Assim \bar z = \frac{3}{16}\cdot\frac{2}{2-\sqrt{2}}=\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2-\sqrt{2}}.Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por 2+\sqrt{2}): \bar z = \frac{3}{8}\cdot\frac{2+\sqrt{2}}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} =\frac{3}{8}\cdot\frac{2+\sqrt{2}}{4-2} =\frac{3}{16}(2+\sqrt{2}).Podemos também escrever \bar z = \frac{3(2+\sqrt{2})}{16}.

Resposta

V=\frac{2\pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\text{Centro de massa}=\left(0,0,\frac{3(2+\sqrt{2})}{16}\right)

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