Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{cossec} t \operatorname{cotg} t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{cossec} t\;\operatorname{cotg} t\,dt,
ou seja, em notação clássica,
\int_{0}^{\pi/4} \csc t\;\cot t\,dt.
Informações importantes dadas:
  • O integrando é \csc t\cot t.
  • O intervalo de integração é [0,\pi/4].
  • Observação crucial: \sin 0=0, logo \csc t e \csc t\cot t não estão definidos em t=0. Portanto trata-se de uma integral imprópria (tem uma singularidade no limite esquerdo).
A pergunta implícita é: a integral converge (tem valor finito) ou diverge? Se converge, qual é o valor?

Passo 2

Vamos achar uma primitiva (antiderivada) de \csc t\cot t. Para isso uso a definição \csc t=(\sin t)^{-1} e derivo:
\frac{d}{dt}\big(\csc t\big)=\frac{d}{dt}\big((\sin t)^{-1}\big) = -(\sin t)^{-2}\cos t = -\csc t\cot t.
Portanto uma primitiva de \csc t\cot t é -\csc t. Verificação rápida: derivando -\csc t obtemos \csc t\cot t, então está correto.

Passo 3

Como há singularidade em t=0, interpretamos a integral como um limite impróprio:
I=\int_{0}^{\pi/4}\csc t\cot t\,dt = \lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{\pi/4}\csc t\cot t\,dt.
Agora usamos a primitiva encontrada para avaliar a integral definida \int_{a}^{\pi/4}.

Passo 4

Usando a primitiva -\csc t obtemos
\int_{a}^{\pi/4}\csc t\cot t\,dt = \big[-\csc t\big]_{t=a}^{t=\pi/4} = -\csc\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big) + \csc(a).
Calculo \csc(\pi/4): \sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, então
\csc\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\frac{1}{\sin(\pi/4)}=\sqrt{2}.
Logo a integral truncada vale -\sqrt{2}+\csc(a).

Passo 5

Agora tomamos o limite quando a\to 0^+:
I=\lim_{a\to 0^+}\big(-\sqrt{2}+\csc(a)\big) = -\sqrt{2}+\lim_{a\to 0^+}\csc(a).
Como \csc(a)=1/\sin a e \sin a\sim a quando a\to 0, temos \csc(a)\to +\infty. Além disso, para t\in(0,\pi/4] temos \csc t\cot t>0, então a “área” acumulada é positiva e cresce sem limite ao aproximar de 0. Portanto
I = +\infty,
ou seja, a integral diverge (não tem valor finito).

Resposta

A integral é imprópria e diverge, mais precisamente \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\csc t\cot t\,dt=+\infty.

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