Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
ou seja, em notação clássica,
Informações importantes dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Observação crucial:
, logo e não estão definidos em . Portanto trata-se de uma integral imprópria (tem uma singularidade no limite esquerdo).
A pergunta implícita é: a integral converge (tem valor finito) ou diverge? Se converge, qual é o valor?
Passo 2
Vamos achar uma primitiva (antiderivada) de
. Para isso uso a definição
e derivo:
Portanto uma primitiva de
é
. Verificação rápida: derivando
obtemos
, então está correto.
Passo 3
Como há singularidade em
, interpretamos a integral como um limite impróprio:
Agora usamos a primitiva encontrada para avaliar a integral definida
.
Passo 4
Usando a primitiva
obtemos
Calculo
:
, então
Logo a integral truncada vale
.
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Como
e
quando
, temos
. Além disso, para
temos
, então a “área” acumulada é positiva e cresce sem limite ao aproximar de
. Portanto
ou seja, a integral diverge (não tem valor finito).
Resposta
A integral é imprópria e diverge, mais precisamente
.