Questão 11: Uma pesquisa foi desenvolvida a partir de 250 bactérias de uma cultura. Estimou-se então, de maneira aproximada, que, durante certo tempo, o aumento percentual do número de bactérias na cultura, descrito por B, poderia ser obtido pela expressão B(t)=-30 \log _{3}(t+21)+150, em que t é o tempo decorrido, em minutos, após o início da pesquisa. Nessas condições, ao fim da primeira hora da pesquisa, quantas bactérias havia em tal cultura, lembrando que B dá o aumento em porcentagem. Mostre as contas que validem sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara. Dados:
  • Número inicial de bactérias: 250.
  • Aumento percentual do número de bactérias, em função do tempo t (em minutos), é dado por
B(t) = -30\log_{3}(t+21) + 150.
Pedido: ao fim da primeira hora da pesquisa (ou seja, quando t=60 minutos), quantas bactérias havia na cultura? Lembre-se que B(t) é o aumento em porcentagem do número inicial.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular o aumento percentual ao tempo t=60. Substituímos t=60 na expressão de B(t):
B(60) = -30\log_{3}(60+21) + 150.
Calcule 60+21:
60+21 = 81.
Portanto
B(60) = -30\log_{3}(81) + 150.

Passo 3

Agora uma mini-aula sobre logaritmo (útil para a prova): \log_{a}(x) é o número y tal que a^{y}=x. Assim, para \log_{3}(81) procuramos y com 3^{y}=81. Como 3^{4}=81, temos
\log_{3}(81) = 4.
Substituindo no passo anterior:
B(60) = -30\cdot 4 + 150.

Passo 4

Calcule a expressão numérica:
-30\cdot 4 = -120,
então
B(60) = -120 + 150 = 30.
Interpretação: ao fim da primeira hora o aumento percentual foi de 30\%.

Passo 5

Para transformar aumento percentual em número de bactérias: se o aumento é 30\%, o fator multiplicativo sobre a população inicial é 1 + \dfrac{30}{100} = 1{,}30. Assim o número final de bactérias é
\text{final} = 250 \times 1{,}30.
Façamos a conta passo a passo:
250 \times 1{,}30 = 250 \times \frac{13}{10} = \frac{250\cdot 13}{10}.
Calcule 250\cdot 13:
250\cdot 13 = 250\cdot(10+3)=2500+750=3250.
Agora divida por 10:
\frac{3250}{10}=325.

Resposta

325 bactérias.

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