Questão 10: Em 1997 um município cedeu uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a um pequeno povoado. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função P(t)=0,2+\log _{2} t, onde P é a população, em milhares de habitantes, e t é o tempo, em anos, após o início da ocupação. A população dessa cidade atingirá a marca dos 5,2 mil habitantes após quanto tempo? Mostre as contas que validem sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função de crescimento da população
P(t)=0,2+\log_{2} t,
onde P é a população em milhares de habitantes e t é o tempo em anos desde o começo da ocupação. A pergunta é: depois de quanto tempo a população atinge \,5,2 mil habitantes?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
P(t)=0,2+\log_{2} t,\quad P(t)\\ \text{(em milhares)}.
Valor alvo: P(t)=5,2 (ou seja, 5{,}2 milhares de habitantes).

Passo 2

Escrevemos a equação que o tempo t deve satisfazer, igualando P(t) a 5{,}2:
0,2+\log_{2} t = 5,2.
Aqui apenas substituímos o valor pedido na expressão da função.

Passo 3

Isolamos o termo logarítmico subtraindo 0,2 dos dois lados:
\log_{2} t = 5{,}2 - 0{,}2.
Fazendo a subtração obtemos
\log_{2} t = 5.

Passo 4

Agora lembramos a definição de logaritmo: a igualdade \log_{b} x = y significa que b^{y}=x. Aplicando isso ao nosso caso, \log_{2} t = 5 é equivalente a
2^{5} = t.
Explicando passo a passo: \log_{2} t pede “qual expoente que eu coloco em 2 para obter t?”. A resposta é 5, então t é 2^5.

Passo 5

Calculamos 2^{5}:
2^{5}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32.
Portanto t=32. Verificação rápida: substituindo de volta em P(t),
P(32)=0{,}2+\log_{2}32=0{,}2+5=5{,}2,
o que confirma que está correto.

Passo 6

Checagem de domínio e interpretação: o logaritmo exige t>0; aqui t=32>0 e faz sentido como tempo em anos. Logo a população atinge 5{,}2 mil habitantes após 32 anos desde o início da ocupação.

Resposta

t=32 anos

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