Questão 10: Em 1997 um município cedeu uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a um pequeno povoado. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função
, onde
é a população, em milhares de habitantes, e
é o tempo, em anos, após o início da ocupação. A população dessa cidade atingirá a marca dos 5,2 mil habitantes após quanto tempo? Mostre as contas que validem sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função de crescimento da população
onde
é a população em milhares de habitantes e
é o tempo em anos desde o começo da ocupação. A pergunta é: depois de quanto tempo a população atinge
mil habitantes?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Valor alvo:
(ou seja,
milhares de habitantes).
Passo 2
Escrevemos a equação que o tempo
deve satisfazer, igualando
a
:
Aqui apenas substituímos o valor pedido na expressão da função.
Passo 3
Isolamos o termo logarítmico subtraindo
dos dois lados:
Fazendo a subtração obtemos
Passo 4
Agora lembramos a definição de logaritmo: a igualdade
significa que
. Aplicando isso ao nosso caso,
é equivalente a
Explicando passo a passo:
pede “qual expoente que eu coloco em 2 para obter
?”. A resposta é
, então
é
.
Passo 5
Calculamos
:
Portanto
. Verificação rápida: substituindo de volta em
,
o que confirma que está correto.
Passo 6
Checagem de domínio e interpretação: o logaritmo exige
; aqui
e faz sentido como tempo em anos. Logo a população atinge
mil habitantes após
anos desde o início da ocupação.