Calcule a integral.
\int \sqrt{1+x-x^{2}} d x

Passo 1

No enunciado temos a integral
\int \sqrt{1 + x - x^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integrar uma função da forma \sqrt{a^{2} - (x - h)^{2}}, e para isso vamos completar o quadrado no radicando e usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em
1 + x - x^{2} = -\bigl(x^{2} - x -1\bigr).
Dentro do parêntese,
x^{2} - x -1 = \bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2} - \tfrac54,
então
1 + x - x^{2} = \tfrac54 - \bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2}.
Assim a integral vira
\int \sqrt{\tfrac54 - \bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 3

Definimos
u = x - \tfrac12, \quad du = dx, \quad a = \frac{\sqrt{5}}{2}.
A integral passa a ser
\int \sqrt{a^{2} - u^{2}}\,du.

Passo 4

Usamos a substituição trigonométrica
u = a\sin\theta, \quad du = a\cos\theta\,d\theta,
e então
\sqrt{a^{2} - u^{2}} = a\cos\theta.
Fica
\int \sqrt{a^{2} - u^{2}}\,du = \int a\cos\theta \cdot a\cos\theta\,d\theta = a^{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Como \cos^{2}\theta = \tfrac{1 + \cos2\theta}{2}, temos
\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\,\theta + \frac{1}{4}\,\sin2\theta + C.
Multiplicando por a^{2},
\int \sqrt{a^{2} - u^{2}}\,du = \frac{a^{2}}{2}\,\theta + \frac{a^{2}}{4}\,\sin2\theta + C.

Passo 6

Voltando para u:
\theta = \arcsin\!\Bigl(\frac{u}{a}\Bigr), \quad \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2\,\frac{u}{a}\,\frac{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}{a} = \frac{2u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}{a^{2}}.
Logo
\frac{a^{2}}{4}\,\sin2\theta = \frac{u}{2}\,\sqrt{a^{2}-u^{2}},
e
\int \sqrt{a^{2} - u^{2}}\,du = \frac{a^{2}}{2}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{u}{a}\Bigr) + \frac{u}{2}\,\sqrt{a^{2}-u^{2}} + C.

Passo 7

Retornando a x: u = x - \tfrac12 e a^{2} = \tfrac54. Assim
\int \sqrt{1 + x - x^{2}}\,dx = \frac{\tfrac54}{2}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x-\tfrac12}{\tfrac{\sqrt5}{2}}\Bigr) + \frac{x-\tfrac12}{2}\,\sqrt{\tfrac54 - \bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2}} + C.
Simplificando os fatores e o argumento do arco seno,
\int \sqrt{1 + x - x^{2}}\,dx = \frac{2x - 1}{4}\,\sqrt{1 + x - x^{2}} + \frac{5}{8}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{2x - 1}{\sqrt{5}}\Bigr) + C.

Resposta

\int \sqrt{1 + x - x^{2}}\,dx = \frac{2x - 1}{4}\,\sqrt{1 + x - x^{2}} + \frac{5}{8}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{2x - 1}{\sqrt{5}}\Bigr) + C.

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