Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se busca:
é a variável de integração;
a integral é indefinida (logo devemos incluir uma constante de integração );
o integrando é o produto de com
.
a integral é indefinida (logo devemos incluir uma constante de integração
o integrando é o produto de
Passo 2
Vou usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
onde
e
são escolhidos a partir do integrando,
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. Aqui vou escolher
Isso nos dá
pois
, então uma primitiva de
é
.
Passo 3
Aplicando a fórmula de partes à integral
com as escolhas acima obtemos
Simplificando o sinal,
Definimos a segunda integral como
portanto
Passo 4
Agora vamos calcular
também por partes. Escolhemos novamente
então
pois uma primitiva de
é
. Aplicando partes:
Observe os sinais com calma:
. Então
Mas a integral que aparece no lado direito é exatamente
. Assim
Passo 5
Voltando à expressão obtida para
:
substituímos
:
Distribuindo os fatores:
Passo 6
Agora isolamos
. Somando
em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Fatorando
e simplificando os coeficientes:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Podemos escrever a resposta de forma mais compacta como
Prontinho — essa é a primitiva de
. Se quiser, dá para checar derivando essa expressão e confirmando que o resultado é
.