Calcule a integral:
\int e^{-\theta} \cos (2 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta.
Informações dadas e o que se busca:
\theta é a variável de integração;
a integral é indefinida (logo devemos incluir uma constante de integração C);
o integrando é o produto de e^{-\theta} com \cos(2\theta).

Passo 2

Vou usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos a partir do integrando, du é a derivada de u vezes d\theta e v é uma primitiva de dv. Aqui vou escolher
u = e^{-\theta},\qquad dv = \cos(2\theta)\,d\theta.
Isso nos dá
du = -e^{-\theta}\,d\theta,\qquad v = \frac{1}{2}\sin(2\theta),
pois \displaystyle\frac{d}{d\theta}\sin(2\theta)=2\cos(2\theta), então uma primitiva de \cos(2\theta) é \tfrac{1}{2}\sin(2\theta).

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes à integral
I=\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta
com as escolhas acima obtemos
I = uv - \int v\,du = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) - \int \frac{1}{2}\sin(2\theta)\,(-e^{-\theta})\,d\theta.
Simplificando o sinal,
I = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) + \frac{1}{2}\int e^{-\theta}\sin(2\theta)\,d\theta.
Definimos a segunda integral como
J=\int e^{-\theta}\sin(2\theta)\,d\theta,
portanto
I = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) + \frac{1}{2}J.

Passo 4

Agora vamos calcular J também por partes. Escolhemos novamente
u = e^{-\theta},\qquad dv = \sin(2\theta)\,d\theta,
então
du = -e^{-\theta}\,d\theta,\qquad v = -\frac{1}{2}\cos(2\theta),
pois uma primitiva de \sin(2\theta) é -\tfrac{1}{2}\cos(2\theta). Aplicando partes:
J = uv - \int v\,du = -\frac{1}{2}e^{-\theta}\cos(2\theta) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right)(-e^{-\theta})\,d\theta.
Observe os sinais com calma: (-1/2)\cdot(-1)=1/2. Então
J = -\frac{1}{2}e^{-\theta}\cos(2\theta) - \frac{1}{2}\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta.
Mas a integral que aparece no lado direito é exatamente I. Assim
J = -\frac{1}{2}e^{-\theta}\cos(2\theta) - \frac{1}{2}I.

Passo 5

Voltando à expressão obtida para I:
I = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) + \frac{1}{2}J,
substituímos J:
I = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}e^{-\theta}\cos(2\theta) - \frac{1}{2}I\right).
Distribuindo os fatores:
I = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) - \frac{1}{4}e^{-\theta}\cos(2\theta) - \frac{1}{4}I.

Passo 6

Agora isolamos I. Somando \tfrac{1}{4}I em ambos os lados:
I + \frac{1}{4}I = \frac{5}{4}I = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) - \frac{1}{4}e^{-\theta}\cos(2\theta).
Multiplicando ambos os lados por \tfrac{4}{5}:
I = \frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) - \frac{1}{4}e^{-\theta}\cos(2\theta)\right).
Fatorando e^{-\theta} e simplificando os coeficientes:
I = e^{-\theta}\left(\frac{2}{5}\sin(2\theta) - \frac{1}{5}\cos(2\theta)\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Podemos escrever a resposta de forma mais compacta como
I = \frac{e^{-\theta}}{5}\bigl(2\sin(2\theta)-\cos(2\theta)\bigr) + C.
Prontinho — essa é a primitiva de \,e^{-\theta}\cos(2\theta). Se quiser, dá para checar derivando essa expressão e confirmando que o resultado é e^{-\theta}\cos(2\theta).

Resposta

\frac{e^{-\theta}}{5}\bigl(2\sin(2\theta)-\cos(2\theta)\bigr)+C

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