Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e o que se quer:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - Queremos o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Vou explicar essa técnica devagarinho: a fórmula de integração por partes diz que, para funções
e
suficientemente suaves,
Aqui:
-
é uma função que escolhemos para derivar (porque sua derivada fica mais simples), -
é a parte que escolhemos para integrar (porque conseguimos achar sua primitiva).
A estratégia comum quando aparece um polinômio multiplicando uma função trigonométrica é escolher o polinômio como(porque derivar reduz a ordem) e a função trigonométrica em (porque a primitiva é conhecida).
Passo 3
Escolhemos
Então
Agora achamos
, ou seja, uma primitiva de
. Sabendo que
, segue que
Portanto
Passo 4
Aplicando integração por partes na integral definida, obtemos
Substituindo
,
e
:
Note que passei o sinal porque
já tem o sinal negativo.
Passo 5
Avalio o termo de contorno
.
- Em
: . (Lembre: em vale .) - Em
: o fator é zero, então o produto é .
Portanto o termo de contorno é.
Passo 6
Fica apenas a integral do cosseno com constante:
Agora calculamos a primitiva de
. Como
, temos
Assim,
Passo 7
Avalio os senos:
-
. -
.
Portanto a expressão dentro do parêntese é. (Não vou repetir a resposta final aqui; ela aparece só na seção de resposta.)