Calcule a integral:
\int_{0}^{1 / 2} \theta \sin (3 \pi \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1/2} \theta \sin(3\pi \theta)\,d\theta.
Informações dadas e o que se quer:
  • O integrando é \theta \sin(3\pi \theta).
  • Os limites de integração são \theta=0 e \theta=1/2.
  • Queremos o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Vou explicar essa técnica devagarinho: a fórmula de integração por partes diz que, para funções u(\theta) e v(\theta) suficientemente suaves,
\int u(\theta)\,dv(\theta) = u(\theta)v(\theta) - \int v(\theta)\,du(\theta).
Aqui:
  • u(\theta) é uma função que escolhemos para derivar (porque sua derivada fica mais simples),
  • dv(\theta) é a parte que escolhemos para integrar (porque conseguimos achar sua primitiva).
    A estratégia comum quando aparece um polinômio multiplicando uma função trigonométrica é escolher o polinômio como u (porque derivar reduz a ordem) e a função trigonométrica em dv (porque a primitiva é conhecida).

Passo 3

Escolhemos
u(\theta)=\theta,\qquad dv(\theta)=\sin(3\pi\theta)\,d\theta.
Então
du(\theta)=d\theta.
Agora achamos v(\theta), ou seja, uma primitiva de \sin(3\pi\theta). Sabendo que \frac{d}{d\theta}\big(\cos(3\pi\theta)\big)=-3\pi\sin(3\pi\theta), segue que
\int \sin(3\pi\theta)\,d\theta = -\frac{1}{3\pi}\cos(3\pi\theta).
Portanto
v(\theta)=-\frac{1}{3\pi}\cos(3\pi\theta).

Passo 4

Aplicando integração por partes na integral definida, obtemos
\int_{0}^{1/2} \theta \sin(3\pi\theta)\,d\theta = \left[\,u(\theta)v(\theta)\,\right]_{0}^{1/2} - \int_{0}^{1/2} v(\theta)\,du(\theta).
Substituindo u, v e du:
\int_{0}^{1/2} \theta \sin(3\pi\theta)\,d\theta = \left[-\frac{\theta}{3\pi}\cos(3\pi\theta)\right]_{0}^{1/2} + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{3\pi}\cos(3\pi\theta)\,d\theta.
Note que passei o sinal porque v já tem o sinal negativo.

Passo 5

Avalio o termo de contorno \left[-\dfrac{\theta}{3\pi}\cos(3\pi\theta)\right]_{0}^{1/2}.
  • Em \theta=\tfrac{1}{2}: \cos(3\pi\cdot \tfrac{1}{2})=\cos\!\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=0. (Lembre: \cos em \tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2} vale 0.)
  • Em \theta=0: o fator \theta é zero, então o produto é 0.
    Portanto o termo de contorno é 0-0=0.

Passo 6

Fica apenas a integral do cosseno com constante:
\int_{0}^{1/2} \theta \sin(3\pi\theta)\,d\theta = \frac{1}{3\pi}\int_{0}^{1/2} \cos(3\pi\theta)\,d\theta.
Agora calculamos a primitiva de \cos(3\pi\theta). Como \frac{d}{d\theta}\big(\sin(3\pi\theta)\big)=3\pi\cos(3\pi\theta), temos
\int \cos(3\pi\theta)\,d\theta = \frac{1}{3\pi}\sin(3\pi\theta).
Assim,
\int_{0}^{1/2} \theta \sin(3\pi\theta)\,d\theta = \frac{1}{3\pi}\cdot \frac{1}{3\pi}\left[\sin(3\pi\theta)\right]_{0}^{1/2} = \frac{1}{9\pi^{2}}\big(\sin(3\pi\cdot\tfrac{1}{2})-\sin(0)\big).

Passo 7

Avalio os senos:
  • \sin(3\pi\cdot\tfrac{1}{2})=\sin\!\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=-1.
  • \sin(0)=0.
    Portanto a expressão dentro do parêntese é -1-0=-1. (Não vou repetir a resposta final aqui; ela aparece só na seção de resposta.)

Resposta

-\dfrac{1}{9\pi^{2}}

Exercícios relacionados