Calcule a integral: \int\left(1+x^{2}\right) e^{3 x} d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \int\left(1+x^{2}\right) e^{3 x}\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de um polinômio \left(1+x^{2}\right) por uma exponencial e^{3x}. Queremos uma primitiva (uma função F(x) tal que F'(x)=(1+x^{2})e^{3x}), mais uma constante +C.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o método dos coeficientes a determinar (também chamado de método de tentativa com ansatz), porque quando a função a integrar é um polinômio vezes uma exponencial do tipo e^{ax}, é eficiente supor que a primitiva tem a forma e^{ax} vezes um polinômio de mesma (ou menor) ordem e determinar os coeficientes. Isso evita fazer múltiplas integrações por partes manualmente e leva a um sistema linear simples.
Breve explicação do porquê funciona: se tentarmos F(x)=e^{3x}P(x) com P polinomial, então