Calcule a integral:
\int\left(1+x^{2}\right) e^{3 x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \int\left(1+x^{2}\right) e^{3 x}\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de um polinômio \left(1+x^{2}\right) por uma exponencial e^{3x}. Queremos uma primitiva (uma função F(x) tal que F'(x)=(1+x^{2})e^{3x}), mais uma constante +C.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o método dos coeficientes a determinar (também chamado de método de tentativa com ansatz), porque quando a função a integrar é um polinômio vezes uma exponencial do tipo e^{ax}, é eficiente supor que a primitiva tem a forma e^{ax} vezes um polinômio de mesma (ou menor) ordem e determinar os coeficientes. Isso evita fazer múltiplas integrações por partes manualmente e leva a um sistema linear simples.
Breve explicação do porquê funciona: se tentarmos F(x)=e^{3x}P(x) com P polinomial, então
F'(x)=3e^{3x}P(x)+e^{3x}P'(x)=e^{3x}\big(3P(x)+P'(x)\big),
ou seja, F'(x) tem a forma e^{3x} vezes um polinômio; basta escolher P tal que esse polinômio coincida com 1+x^{2}.

Passo 3

Fazer o ansatz: suponha uma primitiva da forma
F(x)=e^{3x}\big(Ax^{2}+Bx+C\big),
onde A,B,C são constantes a determinar.
Relembre a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Aqui u=e^{3x} e v=Ax^{2}+Bx+C. A derivada de u é u'=3e^{3x}. A derivada de v é v'=2Ax+B.
Portanto
F'(x)=3e^{3x}\big(Ax^{2}+Bx+C\big)+e^{3x}\big(2Ax+B\big).
Colocando fator comum e^{3x},
F'(x)=e^{3x}\big(3A x^{2}+(3B+2A)x+(3C+B)\big).

Passo 4

Agora igualamos F'(x) à integranda (1+x^{2})e^{3x}=e^{3x}(x^{2}+0\cdot x+1). Como e^{3x} é comum, igualamos os polinômios:
3A x^{2}+(3B+2A)x+(3C+B)=x^{2}+0\cdot x+1.
Igualando coeficientes dos termos com a mesma potência de x, obtemos o sistema:
\begin{cases} 3A = 1,\\[4pt] 3B+2A = 0,\\[4pt] 3C+B = 1. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo.
Do primeiro: 3A=1 então
A=\frac{1}{3}.
Do segundo: 3B+2A=0. Substituindo A=\frac{1}{3},
3B+2\cdot\frac{1}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 3B+\frac{2}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 3B=-\frac{2}{3}.
Logo
B=-\frac{2}{9}.
Do terceiro: 3C+B=1. Substituindo B=-\frac{2}{9},
3C-\frac{2}{9}=1 \quad\Rightarrow\quad 3C=1+\frac{2}{9}=\frac{9}{9}+\frac{2}{9}=\frac{11}{9}.
Logo
C=\frac{11}{27}.

Passo 6

Reescrevendo a primitiva encontrada com os coeficientes calculados:
F(x)=e^{3x}\left(\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{9}x+\frac{11}{27}\right)+C,
onde C é a constante de integração.
Se quiser, dá para verificar derivando F(x) e confirmando que F'(x)=(1+x^{2})e^{3x} — os coeficientes foram escolhidos exatamente para isso.

Resposta

e^{3x}\left(\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{9}x+\frac{11}{27}\right)+C

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