Calcule a integral.
\int x^{2} \operatorname{cosh} x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x^{2}\operatorname{cosh} x\,dx
O método mais direto aqui é usar integração por partes duas vezes, pois temos um polinômio x^2 multiplicando \operatorname{cosh} x.

Passo 2

Na primeira aplicação de partes, escolhemos
u = x^{2},\quad dv = \operatorname{cosh} x\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\quad v = \operatorname{sinh} x,
e pela fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtém-se
\int x^{2}\operatorname{cosh} x\,dx = x^{2}\operatorname{sinh} x - \int 2x\,\operatorname{sinh} x\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular
\int x\,\operatorname{sinh} x\,dx.
Aplicando partes de novo com
u = x,\quad dv = \operatorname{sinh} x\,dx,
vem
du = dx,\quad v = \operatorname{cosh} x,
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\int x\,\operatorname{sinh} x\,dx = x\,\operatorname{cosh} x - \int \operatorname{cosh} x\,dx = x\,\operatorname{cosh} x - \operatorname{sinh} x.

Passo 4

Substituindo esse resultado de volta em
\displaystyle x^{2}\operatorname{sinh} x - \int 2x\,\operatorname{sinh} x\,dx, temos
\int x^{2}\operatorname{cosh} x\,dx = x^{2}\operatorname{sinh} x - 2\bigl(x\,\operatorname{cosh} x - \operatorname{sinh} x\bigr) + C = x^{2}\operatorname{sinh} x - 2x\,\operatorname{cosh} x + 2\operatorname{sinh} x + C.

Resposta

\int x^{2}\operatorname{cosh} x\,dx = x^{2}\operatorname{sinh} x - 2x\,\operatorname{cosh} x + 2\operatorname{sinh} x + C.

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