Calcule a integral:
integral0^pi6 sin xcos ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a pi/6 da função dfracsin xcos^2 x. Isso envolve conteúdo de integração de funções que aparecem como derivadas de funções trigonométricas, em particular reconhecer padrões de derivadas de sec x e tan x.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando de forma a ver essa conexão. Note que
sin xcos^2 x=1cos xcdotsin xcos x=sec xtan x
e sabemos pela teoria de derivadas que
ddxl(sec xr)=sec xtan x

Passo 3

Portanto, a primitiva de sec xtan x é sec x. Assim,
integral sin xcos^2 x,dx=integral sec xtan x,dx=sec x + C

Passo 4

Fazendo a integral definida de 0 a pi/6, temos
integral0^pi/6sin xcos^2 x,dx=l[sec xr]0^pi/6=secl(tfracpi6r)-sec(0)

Passo 5

Como secl(tfracpi6r)=1/cos(pi/6)=2/raiz3 e sec(0)=1, obtemos
2raiz3-1

Resposta

2raiz3-1

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