Calcule a integral :
integral sin (6 x) cos (4 x) d x

Passo 1

Resumo do problema: queremos calcular a integral integral sin(6x)cos(4x),dx. Esse é um caso de integração de funções trigonométricas no produto, e vamos usar a identidade de produto para soma para simplificar o integrando.

Passo 2

Identidade de produto para soma: para qualquer ângulo A e B valem
sin Acos B=tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
Aplicando a identidade com A=6x e B=4x, temos
sin(6x)cos(4x)=tfrac12l[sin(10x)+sin(2x)r]
Então a integral vira
integral sin(6x)cos(4x),dx=tfrac12integral sin(10x),dx+tfrac12integral sin(2x),dx

Passo 3

Agora integramos cada termo usando integral sin(kx),dx=-tfrac1kcos(kx)+C:
tfrac12integral sin(10x),dx=tfrac12l(-tfrac110cos(10x)r)=-tfrac120cos(10x)
tfrac12integral sin(2x),dx=tfrac12l(-tfrac12cos(2x)r)=-tfrac14cos(2x)

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração, obtemos a forma final da antiderivada.

Resposta

-tfrac120cos(10x)-tfrac14cos(2x)+C

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