Calcule a integral
 
em que 
  é a parte da parábola 
  de 
  até 
 . Resp.: 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha:
Aqui, 
  é a parte da parábola 
  que vai de 
  até 
 . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e, se possível, verificar se o campo é conservativo para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial 
  associado à integral:
Para saber se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que 
 , verificamos se as derivadas cruzadas são iguais:
Como 
 , o campo 
  é conservativo.
Passo 3
Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial 
  tal que:
Integrando em relação a 
 :
Agora, derivamos 
  em relação a 
  para encontrar 
 :
Igualando:
Podemos ignorar a constante 
  na função potencial. Então, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial encontrada, a integral de linha pode ser calculada facilmente usando os valores da função potencial nos pontos finais da curva 
 .
Os pontos são 
  e 
 . Vamos calcular 
 .
Primeiro, para 
 :
Porque 
 .
Agora, para 
 :
Resposta
Subtraindo os valores:
Então, a resposta final é: